Determine, se existir, uma matriz P invertível tal que P^-1 A P seja diagonal para cada uma das seguintes matrizes:
A=(ll1 & 2 0 & 2)

Passo 1

O enunciado pede uma matriz inversível P tal que
P^-1AP
seja diagonal, onde
A = 1 & 20 & 2
Isso envolve o conteúdo de diagonalização de matrizes: primeiro encontrar os autovalores de A, depois os autovetores correspondentes e, finalmente, montar P com esses autovetores.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
chiA(lambda)=detl(A-lambda Ir) =det1-lambda & 20 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)
As raízes são
lambda1 = 1, lambda2 = 2

Passo 3

Como os autovalores lambda1=1 e lambda2=2 são distintos, concluímos que A é diagonalizável e há dois autovetores linearmente independentes.

Passo 4

Encontrar um autovetor associado a . Resolvemos
Da primeira linha vem , logo . Podemos escolher . Assim

Passo 5

Encontrar um autovetor associado a . Resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja . Escolhendo , temos

Passo 6

Formar a matriz P com os autovetores como colunas:
P = l[v1;;v2r] = 1 & 20 & 1
Ela é invertível (determinante igual a 1). De fato, um cálculo mostra
P^-1 = 1 & -20 & 1,
e
P^-1AP = 1 & -20 & 1 1 & 20 & 2 1 & 20 & 1 = 1 & 00 & 2

Resposta

A matriz procurada é
P = 1 & 20 & 1,
pois com ela obtemos
P^-1AP = 1 & 00 & 2

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