Mostre que se A in M2(C), então A é semelhante sobre C a uma matriz de um dos seguinte tipos
(ll a & 0 0 & b ) com a, b in C ou (ll a & 0 1 & a ) com a in C

Passo 1

O enunciado pede para classificar qualquer matriz AinM2(C) até semelhança sobre C. O conteúdo é o Teorema da Forma de Jordan em dimensão 2: toda matriz complexa de tamanho 2times2 é semelhante a uma matriz diagonal (se diagonalizável) ou a um bloco de Jordan de ordem 2 (se não diagonalizável). Para resolver, vamos usar os conceitos de polinômio característico, autovalores, polinômio minimal e existência de cadeias de Jordan.

Passo 2

Calcule o polinômio característico de A:
p(lambda)=det(lambda I - A)=lambda^2 - (trA),lambda + det A
Como C é fechado algebricamente, p(lambda) se fatoriza em
p(lambda)=(lambda-a)(lambda-b),
com a,binC (possivelmente iguais). Esses são os autovalores de A.

Passo 3

Caso aneq b: os autovalores são distintos, logo existem dois autovetores linearmente independentes. Montando a matriz P cujas colunas são esses autovetores, temos
P^-1AP = a & 0 0 & b
Assim, A é semelhante a uma matriz diagonal com entradas a,b.

Passo 4

Caso a=b=: alpha: o polinômio característico é
p(lambda)=(lambda-alpha)^2
O polinômio minimal m(lambda) divide p(lambda), então só pode ser
,m(lambda)=lambda-alpha ou ,m(lambda)=(lambda-alpha)^2.
Subcaso 4.1: Se m(lambda)=lambda-alpha, então A=alpha I, que é diagonal (caso especial de matriz diagonal com a=b=alpha).
Subcaso 4.2: Se m(lambda)=(lambda-alpha)^2, então Aneq alpha I e é não diagonalizável. Nesse caso ker(A-alpha I) tem dimensão 1, mas dimker(A-alpha I)^2=2. Escolha v tal que (A-alpha I)vneq0, e defina
e1 = (A-alpha I)v, e2 = v
Então e1,e2 é base de C^2 e, nessa base, a expressão de A satisfaz
A e1 = alpha e1, A e2 = e1 + alpha e2,
o que dá a matriz
P^-1AP = alpha & 0 1 & alpha

Resposta

Em suma, toda AinM2(C) é semelhante sobre C a uma das matrizes
a & 0 0 & b com a,binC,
ou
a & 0 1 & a com ainC

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