Determine, se existir, uma matriz P invertível tal que P^-1 A P seja diagonal para cada uma das seguintes matrizes:
A=(ll1 & 1 1 & 1)

Passo 1

O enunciado pede uma matriz invertível P tal que
P^-1 A P
seja diagonal, onde
A = 1 & 1[6pt]1 & 1
Este é um problema de diagonalização de matriz: para isso precisamos achar os autovalores de A e um conjunto de autovetores linearmente independentes.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A resolvendo
det(A - lambda I) = det!1-lambda & 1[4pt]1 & 1-lambda = (1-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda = lambda(lambda - 2) = 0
Logo os autovalores são
lambda1 = 0 e lambda2 = 2.]

Passo 3

Para lambda2 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 ;Longrightarrow; -1 & 1[4pt]1 & -1 x[3pt]y = 0[3pt]0,
que dá -x + y = 0, ou seja y = x.
Um autovetor associado é
v2 = 1[3pt]1 ]

Passo 4

Para lambda1 = 0, resolvemos
A v = 0 ;Longrightarrow; 1 & 1[4pt]1 & 1 x[3pt]y = 0[3pt]0,
que dá x + y = 0, ou seja y = -x.
Um autovetor associado é
v1 = 1[3pt]-1 ]

Passo 5

Colocamos os autovetores como colunas de P, por exemplo na ordem (v2,v1):
P = 1 & 1[3pt] 1 & -1
Como det P = -2 neq 0, P é invertível.
Calcula-se então
P^-1 A P = 2 & 0[4pt]0 & 0,
que é diagonal.]

Resposta

Uma escolha válida é
P = 1 & 1[3pt]1 & -1,
pois com ela
P^-1AP = 2 & 0[4pt]0 & 0 ]

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