Determine, se existir, o valor de L in R que torna cada função abaixo contínua.
f(x)= sen(x^2-4)+5, & se x>2, L, & se x=2, x^2+x-6x-2, & se x<2

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de LinR que torna a função
f(x)= sinl(x^2-4r)+5,&x>2, L,&x=2, x^2+x-6x-2,&x<2
contínua em x=2. O conteúdo principal aqui é continuidade de funções em pontos de fronteira de definição, o que exige calcular os limites laterais em x=2 e igualá-los ao valor f(2)=L.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o limite pela direita:
limxto2^+f(x)=limxto2^+l(sin(x^2-4)+5r)
Como x^2-4to0 quando xto2, temos sin(x^2-4)tosin(0)=0. Logo
limxto2^+f(x)=0+5=5

Passo 3

Agora o limite pela esquerda. Note que
x^2+x-6x-2=(x-2)(x+3)x-2=x+3,
para xneq2. Assim
limxto2^-f(x)=limxto2^-(x+3)=2+3=5

Passo 4

Os limites laterais em x=2 coincidem e valem 5. Para a função ser contínua em x=2, precisamos de
L=limxto2f(x)=5

Resposta

L = 5

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