Usando o Teorema do Confronto, calcule o limite
.
Passo 1
Então, a gente tem um limite para resolver:
. Vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich) para encontrar esse limite. Para isso, precisamos entender como a função sen(x) se comporta perto de x igual a zero.
Passo 2
Primeiro, lembre o que é o limite: é o valor que a função se aproxima quando x chega perto de um ponto, nesse caso, zero. Sabemos que
. Isso porque, quando x está muito pequeno, sen(x) é aproximadamente igual a x.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão do limite usando essa informação:
Mas isso ainda não resolve, então precisamos aplicar o Teorema do Confronto para encontrar limites superiores e inferiores que nos ajudem.
Passo 4
Para aplicar o Teorema do Confronto, vamos usar a expansão em série de Taylor para sen(x) perto de zero:
Dividindo por x:
Então:
Passo 5
Agora, observamos que quando x tende a zero, os termos que envolvem x e potências maiores de x também tendem a zero. Portanto, o limite da expressão toda será zero.
Resposta
O limite
é igual a 0.