Usando o Teorema do Confronto, calcule o limite lim x 0 sen xx-1x.

Passo 1

Então, a gente tem um limite para resolver: lim x 0 sen xx-1x. Vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich) para encontrar esse limite. Para isso, precisamos entender como a função sen(x) se comporta perto de x igual a zero.

Passo 2

Primeiro, lembre o que é o limite: é o valor que a função se aproxima quando x chega perto de um ponto, nesse caso, zero. Sabemos que lim x 0 sen xx = 1. Isso porque, quando x está muito pequeno, sen(x) é aproximadamente igual a x.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão do limite usando essa informação:
sen xx - 1x = 1 - 1x + termos menores
Mas isso ainda não resolve, então precisamos aplicar o Teorema do Confronto para encontrar limites superiores e inferiores que nos ajudem.

Passo 4

Para aplicar o Teorema do Confronto, vamos usar a expansão em série de Taylor para sen(x) perto de zero:
sen x = x - x^36 + x^5120 - dots
Dividindo por x:
sen xx = 1 - x^26 + x^4120 - dots
Então:
sen xx - 1x = -x^26 + x^4120 - dotsx = -x6 + x^3120 - dots

Passo 5

Agora, observamos que quando x tende a zero, os termos que envolvem x e potências maiores de x também tendem a zero. Portanto, o limite da expressão toda será zero.

Resposta

O limite lim x 0 sen xx-1x é igual a 0.

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