Determine, se existir, o valor de
que torna cada função abaixo contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor real $ L $ que faça a função $ f(x) $ ser contínua no ponto $ x = 3 $. A função está dividida em três partes:
- Para $ x > 3 $: $ f(x) = \frac{x^{2} - 7x + 12}{\sqrt[3]{9x} - 3} $
- Para $ x = 3 $: $ f(x) = L $
- Para $ x < 3 $: $ f(x) = \frac{|x^{2} - 3x|}{x - 3} $
Para garantir a continuidade, precisamos que os limites pela direita e pela esquerda em $ x = 3 $ sejam iguais a $ L $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 3 pela direita ($ x \to 3^+ $). Isso significa que vamos usar a fórmula para $ x > 3 $:
Vamos simplificar o numerador:
Então, temos:
Passo 3
Agora, para simplificar ainda mais, vamos substituir $ x = 3 + h $, onde $ h $ se aproxima de 0:
Sabemos que $ \sqrt[3]{27} = 3 $, então podemos usar a expansão de Taylor para o denominador:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda ($ x \to 3^- $). Usamos a fórmula para $ x < 3 $:
Primeiro, simplificamos o numerador:
Como $ x < 3 $, $ x - 3 $ é negativo, então:
Substituindo:
Passo 5
Agora que temos os dois limites:
Para a função ser contínua em $ x = 3 $, o valor de $ f(3) $ deve ser igual a esses limites. Ou seja:
Resposta
O valor de $ L $ que torna a função contínua em $ x = 3 $ é $ L = -3 $.