Determine, se existir, o valor de L in R que torna cada função abaixo contínua.
f(x)= x^2-7 x+12raiz[3]9 x-3, & se x>3, L, & se x=3, |x^2-3 x|x-3, & se x<3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor real $ L $ que faça a função $ f(x) $ ser contínua no ponto $ x = 3 $. A função está dividida em três partes:
  • Para $ x > 3 $: $ f(x) = \frac{x^{2} - 7x + 12}{\sqrt[3]{9x} - 3} $
  • Para $ x = 3 $: $ f(x) = L $
  • Para $ x < 3 $: $ f(x) = \frac{|x^{2} - 3x|}{x - 3} $
Para garantir a continuidade, precisamos que os limites pela direita e pela esquerda em $ x = 3 $ sejam iguais a $ L $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 3 pela direita ($ x \to 3^+ $). Isso significa que vamos usar a fórmula para $ x > 3 $:
f(x)
Vamos simplificar o numerador:
x
Então, temos:
x to 3^+

Passo 3

Agora, para simplificar ainda mais, vamos substituir $ x = 3 + h $, onde $ h $ se aproxima de 0:
x = 3 + h
Sabemos que $ \sqrt[3]{27} = 3 $, então podemos usar a expansão de Taylor para o denominador:
h
Substituindo de volta:
limh to 0^+ h (3 + h - 4)raiz[3]9(3 + h) - 3 = limh to 0^+ h (-1 + h)raiz[3]27 + 9h - 3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda ($ x \to 3^- $). Usamos a fórmula para $ x < 3 $:
x
Primeiro, simplificamos o numerador:
x to 3^-
Como $ x < 3 $, $ x - 3 $ é negativo, então:
x < 3
Substituindo:
limx to 3^- |x^2 - 3x|x - 3

Passo 5

Agora que temos os dois limites:
limx to 3^+ f(x) = -3 e limx to 3^- f(x) = -3
Para a função ser contínua em $ x = 3 $, o valor de $ f(3) $ deve ser igual a esses limites. Ou seja:
x = 3

Resposta

O valor de $ L $ que torna a função contínua em $ x = 3 $ é $ L = -3 $.

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