Calcule:
lim x -infty raiz3 x^4-41-x^2

Passo 1

Esse exercício pede para calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão $ \frac{\sqrt{3x^{4}-4}}{1 - x^{2}} $. Vamos usar conceitos de limites no infinito, analisando o comportamento das funções à medida que $ x $ fica muito grande em valor absoluto, e simplificar a expressão para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador $ \sqrt{3x^{4}-4} $. Quando $ x $ tende a infinito, o termo $ 3x^{4} $ domina, então podemos aproximar $ \sqrt{3x^{4}-4} $ por $ \sqrt{3x^{4}} = \sqrt{3}x^{2} $. Mas como $ x $ está indo para menos infinito, $ x^{2} $ é positivo.

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador $ 1 - x^{2} $. Conforme $ x $ cresce em valor absoluto, $ -x^{2} $ domina, então podemos aproximar $ 1 - x^{2} \approx -x^{2} $.

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
raiz3x^4-41 - x^2 approx raiz3x^2-x^2 = -raiz3

Resposta

O limite é $ -\sqrt{3} $.

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