Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se existem assíntotas horizontais e verticais para a função $ f(x) = \frac{4x^{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 2}} $. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificar cada tipo delas usando limites e propriedades das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima cada vez mais, mas nunca toca. Elas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas. Aqui vamos focar nas horizontais e verticais.
Passo 3
Vamos começar buscando as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, já que a função fica indefinida nesses pontos. Então, vamos resolver:
Para que a raiz quadrada seja zero, o que está dentro dela também precisa ser zero:
Então, os possíveis candidatos a assíntotas verticais são $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $.
Passo 4
Mas nem todo ponto onde o denominador é zero garante uma assíntota vertical. Precisamos verificar o comportamento da função nesses pontos. Vamos calcular os limites quando $ x $ se aproxima de $ \sqrt{2} $ e de $ -\sqrt{2} $:
Quando $ x $ se aproxima de $ \sqrt{2} $ pela direita, o denominador tende a zero positivo, e o numerador se aproxima de $ 4(\sqrt{2})^{2} - \sqrt{2} = 8 - \sqrt{2} $, que é positivo. Portanto, o limite tende a $ +\infty $.
Fazendo o mesmo para $ x $ se aproximando de $ -\sqrt{2} $:
Como os limites tendem ao infinito, confirmamos que existem assíntotas verticais em $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $.
Passo 5
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas são determinadas pelo comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito positivo ou negativo. Calculamos os limites:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por $ x $:
Como o limite tende ao infinito, não existe uma assíntota horizontal quando $ x $ vai para $ \infty $.
Fazendo o mesmo para $ x $ tendendo a $ -\infty $:
Novamente, o limite tende ao infinito, indicando que não há assíntota horizontal para $ x $ tendendo a $ -\infty $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{4x^{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 2}} $ possui assíntotas verticais em $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $. Não existem assíntotas horizontais para essa função.