Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=4 x^2-raiz2raizx^2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se existem assíntotas horizontais e verticais para a função $ f(x) = \frac{4x^{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 2}} $. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificar cada tipo delas usando limites e propriedades das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima cada vez mais, mas nunca toca. Elas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas. Aqui vamos focar nas horizontais e verticais.

Passo 3

Vamos começar buscando as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, já que a função fica indefinida nesses pontos. Então, vamos resolver:
raizx^2 - 2 = 0
Para que a raiz quadrada seja zero, o que está dentro dela também precisa ser zero:
x^2 - 2 = 0 implies x^2 = 2 implies x = raiz2 ou x = -raiz2
Então, os possíveis candidatos a assíntotas verticais são $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $.

Passo 4

Mas nem todo ponto onde o denominador é zero garante uma assíntota vertical. Precisamos verificar o comportamento da função nesses pontos. Vamos calcular os limites quando $ x $ se aproxima de $ \sqrt{2} $ e de $ -\sqrt{2} $:
x
Quando $ x $ se aproxima de $ \sqrt{2} $ pela direita, o denominador tende a zero positivo, e o numerador se aproxima de $ 4(\sqrt{2})^{2} - \sqrt{2} = 8 - \sqrt{2} $, que é positivo. Portanto, o limite tende a $ +\infty $.
Fazendo o mesmo para $ x $ se aproximando de $ -\sqrt{2} $:
raiz2
Como os limites tendem ao infinito, confirmamos que existem assíntotas verticais em $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $.

Passo 5

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas são determinadas pelo comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito positivo ou negativo. Calculamos os limites:
x
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por $ x $:
limx to infty f(x) = limx to infty 4x^2 - raiz2raizx^2 - 2
Como o limite tende ao infinito, não existe uma assíntota horizontal quando $ x $ vai para $ \infty $.
Fazendo o mesmo para $ x $ tendendo a $ -\infty $:
x
Novamente, o limite tende ao infinito, indicando que não há assíntota horizontal para $ x $ tendendo a $ -\infty $.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{4x^{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 2}} $ possui assíntotas verticais em $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $. Não existem assíntotas horizontais para essa função.

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