Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa analisar as assíntotas da função $ f(x) = \frac{x + \sqrt{1}}{\sqrt{x^{2} - 1}} $. Isso faz parte do estudo de funções racionais e envolve entender como a função se comporta quando x se aproxima de certos valores ou vai para o infinito. Para resolver isso, vamos verificar onde a função pode ter assíntotas verticais e horizontais.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Elas aparecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos igualar o denominador a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, os possíveis pontos onde a função não está definida são $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Vamos verificar o comportamento da função perto desses pontos:
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Quando $ x $ se aproxima de 1 pelo lado positivo: o denominador tende a zero e o numerador tende a $ 1 + 1 = 2 $, então a função tende a $ +\infty $.
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Quando $ x $ se aproxima de -1 pelo lado negativo: o denominador também tende a zero, mas o numerador tende a $ -1 + 1 = 0 $. Porém, aproximando-se de valores menores que -1, o numerador fica ligeiramente negativo, fazendo a função tender a $ -\infty $.
Portanto, temos duas assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 3
Agora vamos encontrar as assíntotas horizontais, olhando para o comportamento da função quando $ x $ vai para $ +\infty $ e $ -\infty $.
- Para $ x $ tendendo a $ +\infty $:
Então, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ vai para $ +\infty $ é 1.
- Para $ x $ tendendo a $ -\infty $:
Aqui, o denominador é a raiz de $ x^{2} $, que é $ |x| = -x $ quando $ x $ é negativo. Portanto, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ vai para $ -\infty $ é -1.
Assim, temos duas assíntotas horizontais: uma em $ y = 1 $ e outra em $ y = -1 $.
Resposta
A função possui assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $, e assíntotas horizontais em $ y = 1 $ e $ y = -1 $.