Encontre os valores das constantes m e n que tornam a função f derivável em (-infty,+infty).
Dica: Analise também a continuidade da função f uma vez que uma função derivável deve ser contínua.
f(x)=cc x^2, & se x <=-2 m x+n & se x>-2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
f(x)=cc x^2, & se x <= -2 m x + n & se x > -2
Queremos encontrar os valores das constantes $ m $ e $ n $ que fazem com que essa função seja derivável em todo o domínio dos números reais. Para isso, precisamos garantir que a função seja contínua e que as derivadas das partes se igualem no ponto onde a função muda de expressão, que é em $ x = -2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = -2 $. Isso significa que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de -2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de -2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = -2 $.
Para $ x \leq -2 $, $ f(x) = x^2 $. Então, $ f(-2) = (-2)^2 = 4 $.
Para $ x > -2 $, $ f(x) = m x + n $. O limite quando $ x $ se aproxima de -2 por essa parte é $ m*(-2) + n = -2m + n $.
Então, para a continuidade:
x = -2

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em $ x = -2 $. Para isso, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em $ x = -2 $.
A derivada de $ f(x) = x^2 $ é $ f’(x) = 2x $. Então, em $ x = -2 $:
x = -2
A derivada de $ f(x) = m x + n $ é $ f’(x) = m $. Para ser derivável, essa derivada deve ser igual à derivada da outra parte no ponto $ x = -2 $:
x = -2

Passo 4

Agora que já sabemos que $ m = -4 $, podemos substituir esse valor na equação que obtivemos na continuidade:
m = -4

Resposta

Os valores das constantes que tornam a função $ f $ derivável em todo o domínio são $ m = -4 $ e $ n = -4 $.

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