Questão 2. Classifique cada uma das afirmações abaixo como Verdadeira ou Falsa. Dê um contra exemplo para as afirmações falsas e prove as verdadeiras.
(a) ( ldots ldots )(0,2) Se T: R^n R^n-1 é uma transformação linear, então T não pode ser injetiva;
(b) ( ldots ldots )(0,2) A reunião de dois conjuntos linearmente independentes é sempre um conjunto linearmente independente;
(c) ( ldots ldots . ) (0,2) Se lambda=0 for um autovalor de A in Mn times n(R), então A não é diagonalizável;
(d) ( ldots ldots )(0,2) Se A in Mn times n(R) é nilpotente, isto é, existe k in N tal que A^k=0, então 0 é o único autovalor para A.

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre transformações lineares e matrizes como Verdadeiras ou Falsas, dando contraexemplo quando for falsa ou prova quando for verdadeira. Vamos usar:
– Teorema do posto e nulidade para transformações lineares,
– Conceito de independência linear,
– Definição de autovalor, diagonalização e matriz nilpotente.

Passo 2

Na afirmação (a) diz-se que se T:R^ntoR^n-1 é linear então T não pode ser injetiva.
Pelo teorema da dimensão temos
dimker T+dimimT = n
Como imTsubseteqR^n-1, segue dimimT<= n-1. Portanto
dimker T = n - dimimT >= 1,
isto é, o núcleo de T contém vetores não-nulos, logo T não é injetiva. Concluímos que (a) é verdadeira.

Passo 3

A afirmação (b) diz que a reunião de dois conjuntos linearmente independentes é sempre linearmente independente. Isso é falso.
Contraexemplo em R^2:
Defina
S1 = (1,0),(0,1),
S2 = (1,0),(1,1)
Cada um dos conjuntos S1 e S2 é linearmente independente. Mas
S1cup S2 = (1,0),(0,1),(1,1)
é linearmente dependente, pois
(1,1) = (1,0) + (0,1)
Logo (b) é falsa.

Passo 4

A afirmação (c) afirma que se lambda=0 for autovalor de Ain Mntimes n(R) então A não é diagonalizável. Isso também é falso.
Contraexemplo:
A = 0 & 0 0 & 1
Aqui 0 é autovalor de A e A já está em forma diagonal, logo é diagonalizável. Assim (c) é falsa.

Passo 5

A afirmação (d) diz que se Ain Mntimes n(R) é nilpotente (existe k tal que A^k=0) então 0 é o único autovalor de A.
Prova: como A^k=0, o polinômio minimal de A divide t^k, portanto todas as raízes do polinômio característico de A são iguais a 0. Logo o único autovalor é 0. Concluímos que (d) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Verdadeira.

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