Questão 2. Classifique cada uma das afirmações abaixo como Verdadeira ou Falsa. Dê um contra exemplo para as afirmações falsas e prove as verdadeiras.
(a) ( Se é uma transformação linear, então não pode ser injetiva;
(b) ( A reunião de dois conjuntos linearmente independentes é sempre um conjunto linearmente independente;
(c) ( . ) Se for um autovalor de , então não é diagonalizável;
(d) ( Se é nilpotente, isto é, existe tal que , então 0 é o único autovalor para .
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre transformações lineares e matrizes como Verdadeiras ou Falsas, dando contraexemplo quando for falsa ou prova quando for verdadeira. Vamos usar:
– Teorema do posto e nulidade para transformações lineares,
– Conceito de independência linear,
– Definição de autovalor, diagonalização e matriz nilpotente.
Passo 2
Na afirmação (a) diz-se que se é linear então não pode ser injetiva.
Pelo teorema da dimensão temos
Como , segue . Portanto
isto é, o núcleo de contém vetores não-nulos, logo não é injetiva. Concluímos que (a) é verdadeira.
Passo 3
A afirmação (b) diz que a reunião de dois conjuntos linearmente independentes é sempre linearmente independente. Isso é falso.
Contraexemplo em :
Defina
Cada um dos conjuntos e é linearmente independente. Mas
é linearmente dependente, pois
Logo (b) é falsa.
Passo 4
A afirmação (c) afirma que se for autovalor de então não é diagonalizável. Isso também é falso.
Contraexemplo:
Aqui 0 é autovalor de A e A já está em forma diagonal, logo é diagonalizável. Assim (c) é falsa.
Passo 5
A afirmação (d) diz que se Ain Mntimes n(R) é nilpotente (existe k tal que A^k=0) então 0 é o único autovalor de A.
Prova: como A^k=0, o polinômio minimal de A divide t^k, portanto todas as raízes do polinômio característico de A são iguais a 0. Logo o único autovalor é 0. Concluímos que (d) é verdadeira.