Determine, se existirem: lim x 1 f(x), onde para todo x neq 1, x^4-1x-1 <= f(x) <= 16pi arctg x
Observe que para x neq 1
x^4-1x-1=(x^2-1)(x^2+1)x-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)x-1=(x+1)(x^2+1) underbracex 1 4
e
16pi arctg x underbracex 1 16pi arctg 1=16pi pi4=4
Pelo Teorema do confronto, lim x 1 f(x)=4

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f tal que, para todo xneq1,
x^4-1x-1;<=;f(x);<=;16piarctg x
e pede limxto1f(x). O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), que diz que se duas funções que “encapsulam” f têm o mesmo limite em um ponto, então f tem esse limite também.

Passo 2

Analisamos o limite da função de baixo
g(x)=x^4-1x-1
Para simplificar, fatoramos
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1),
logo, para xneq1,
g(x)=(x+1)(x^2+1)
Como é um polinômio em x, é contínuo, e
limxto1g(x)=(1+1)l(1^2+1r)=2cdot2=4

Passo 3

Agora a função de cima
h(x)=16piarctg x
Sabemos que arctg x é contínua em x=1, logo
limxto1h(x)=16pi,arctg(1) =16picdotpi4=4

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como para todo xneq1
g(x)<= f(x)<= h(x),
e
limxto1g(x)=4 e limxto1h(x)=4,
segue que
limxto1f(x)=4

Resposta

limxto1f(x)=4.

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