Questão 7. (1,0) Seja f:(0,1) R contínua, tal que f(x)^2=1, para todo x in(0,1). Prove, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, que ou f(x)=1, para todo x in(0,1) ou f(x)=-1, para todo x in(0,1).

Passo 1

O enunciado diz que temos f:(0,1)toR contínua e que, para todo xin(0,1), vale
f(x)^2=1
Como consequência imediata, para cada x temos f(x)=1 ou f(x)=-1. O objetivo é usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que f não pode alternar entre esses dois valores em (0,1), isto é, que ou f(x)=1 para todo x ou f(x)=-1 para todo x.

Passo 2

Suponha, para buscar contradição, que existam a,bin(0,1) tais que
f(a)=1 e f(b)=-1
Como f é contínua em [a,b] (ou em [b,a], dependendo da ordem), podemos aplicar o TVI nesse intervalo.

Passo 3

Pelo TVI, como 1 e -1 são valores de f em a e em b, existe algum c entre a e b tal que
f(c)=0
Isso porque o TVI garante que f atinge todo valor intermediário entre f(a) e f(b).

Passo 4

Mas isso entra em contradição com a condição f(c)^2=1, que impede f(c) de ser zero. Logo, nossa hipótese de que f poderia assumir os valores 1 e -1 em pontos distintos falha.

Resposta

Portanto, f não pode alternar entre 1 e -1. Isso implica que ou
f(x)=1para todo xin(0,1),
ou
f(x)=-1para todo xin(0,1)

Exercícios relacionados