Questão 7.
Seja
contínua, tal que
, para todo
. Prove, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, que ou
, para todo
ou
, para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que temos
contínua e que, para todo
, vale
Como consequência imediata, para cada
temos
ou
. O objetivo é usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que
não pode alternar entre esses dois valores em
, isto é, que ou
para todo
ou
para todo
.
Passo 2
Suponha, para buscar contradição, que existam
tais que
Como
é contínua em
(ou em
, dependendo da ordem), podemos aplicar o TVI nesse intervalo.
Passo 3
Pelo TVI, como
e
são valores de
em
e em
, existe algum
entre
e
tal que
Isso porque o TVI garante que
atinge todo valor intermediário entre
e
.
Passo 4
Mas isso entra em contradição com a condição
, que impede
de ser zero. Logo, nossa hipótese de que
poderia assumir os valores
e
em pontos distintos falha.
Resposta
Portanto,
não pode alternar entre
e
. Isso implica que ou
ou