Calcule as integrais indefinidas abaixo.
integral x^3 cos (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^3cosl(x^2r),dx
Aqui vamos usar o método de substituição para simplificar o integrando e depois integrar por partes quando necessário.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2,
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du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Reescrevendo x^3,dx como x^2cdot x,dx e usando u=x^2:
integral x^3cosl(x^2r),dx = integral ucos(u),du2 = 12integral ucos(u),du

Passo 4

Para calcular integral ucos(u),du usamos integração por partes. Seja
A = u, & dB = cos(u),du, dA = du, & B = sin(u)
Então
integral ucos(u),du = usin(u) - integral sin(u),du = usin(u) + cos(u) + C

Passo 5

Voltando à nossa integral original e substituindo u=x^2:
integral x^3cosl(x^2r),dx = 12l(usin(u) + cos(u)r) + C = 12l(x^2sin(x^2) + cos(x^2)r) + C

Resposta

x^2,sinl(x^2r) + cosl(x^2r)2 + C

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