Exercício 24. Encontre e classifique os pontos críticos das funções:
(ii)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo gira em torno de derivadas parciais (para encontrar os pontos onde o gradiente zera) e do teste da segunda derivada em duas variáveis (Hessiano) para classificação como mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro, para
:
Isto dá
Agora
:
Passo 3
Para pontos críticos, impomos
Isto é o sistema
Da segunda equação vem
, logo
Substituindo na primeira:
Assim os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar, formamos o Hessiano
com as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano vale
Passo 5
Avaliaremos em cada ponto:
Para
:
Como
e
, temos mínimo local em
.
Para
:
Quando
, o ponto é de sela.
Resposta
O ponto crítico
é um mínimo local e o ponto crítico
é um ponto de sela.