Exercício 24. Encontre e classifique os pontos críticos das funções:
(ii) f(x, y)=2 x^3+(x-y)^2-6 y

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=2x^3+(x-y)^2-6y
O conteúdo gira em torno de derivadas parciais (para encontrar os pontos onde o gradiente zera) e do teste da segunda derivada em duas variáveis (Hessiano) para classificação como mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Primeiro, para partial fpartial x:
partial fpartial x = partialpartial xl(2x^3r) + partialpartial xl((x-y)^2r) - partialpartial x(6y)
Isto dá
partial fpartial x = 6x^2 + 2(x-y)cdot1 - 0 = 6x^2 + 2(x-y)
Agora partial fpartial y:
partial fpartial y = 0 + 2(x-y)cdot(-1) - 6 = -2(x-y) - 6

Passo 3

Para pontos críticos, impomos
partial fpartial x=0, partial fpartial y=0
Isto é o sistema
6x^2 + 2(x-y)=0, -2(x-y)-6=0
Da segunda equação vem x-y=-3, logo
y = x+3
Substituindo na primeira:
6x^2 + 2l(x-(x+3)r)=0 ;Longrightarrow; 6x^2 -6=0 ;Longrightarrow; x^2=1 ;Longrightarrow; x=pm1
Assim os pontos críticos são
(x,y)=(1,4) e (x,y)=(-1,2)

Passo 4

Para classificar, formamos o Hessiano H com as segundas derivadas:
fxx = partialpartial xl(6x^2 +2x-2yr) =12x+2, fyy = partialpartial yl(-2x+2y-6r) =2, fxy = partialpartial yl(6x^2+2x-2yr) =-2
O determinante do Hessiano vale
D(x,y) = fxx,fyy - (fxy)^2

Passo 5

Avaliaremos em cada ponto:
Para (1,4):
fxx=12cdot1+2=14, fyy=2, fxy=-2, D = 14cdot2 - (-2)^2 =28-4=24>0
Como D>0 e fxx=14>0, temos mínimo local em (1,4).
Para (-1,2):
fxx=12cdot(-1)+2=-10, fyy=2, fxy=-2, D = (-10)cdot2 - (-2)^2 = -20-4=-24<0
Quando D<0, o ponto é de sela.

Resposta

O ponto crítico (1,4) é um mínimo local e o ponto crítico (-1,2) é um ponto de sela.

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