As funções trigonométricas hiperbólicas - seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente hiperbólica e cotangente hiperbólica - denotadas, respectivamente, por senh, cosh, tgh e cotgh, são definidas pelas expressões abaixo:
senh x=e^x-e^-x2 cosh x=e^x+e^-x2 tgh x=e^x-e^-xe^x+e^-x cotgh x=e^x+e^-xe^x-e^-x
Com base nessas definições, mostre que:
lim x mapsto 0 senh xx=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0senhxx
sabendo que
senhx=e^x-e^-x2
e
cosh x=e^x+e^-x2.
Vamos usar a Regra de L’Hôpital, pois ao substituir x=0 temos forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Verificamos o valor no numerador e no denominador quando xto 0:
senh0=e^0-e^02=0
e
0 no denominador. Logo é uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada de senhx é
ddxl(tfrace^x-e^-x2r) =e^x+e^-x2 =cosh x,
e derivada de x é 1.

Passo 4

Portanto,
limxto 0senhxx =limxto 0cosh x1 =cosh0 =e^0+e^02 =1

Resposta

1

Exercícios relacionados