(3,5) Determine, se existirem:
lim x infty arctg x(raizx+1 / x)x+|x|^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limx to infty arctan!l(xl(raizx + 1/xr)x + |x|^3/2r)
O conteúdo principal envolve manipular a expressão dentro de arctan, usar a propriedade de continuidade da função arctan e identificar o comportamento assintótico dos termos em x.

Passo 2

Quando x to infty, temos |x| = x. Logo o denominador fica
x + |x|^3/2 = x + x^3/2
Assim a expressão dentro de arctan é
x(raizx + 1/x)x + x^3/2 =x^3/2 + 1x + x^3/2

Passo 3

Para comparar termos de ordem dominante, dividimos numerador e denominador por x^3/2:
x^3/2 + 1x + x^3/2 =x^3/2(1 + 1/x^3/2)x^3/2(x/x^3/2 + 1) =1 + 1/x^3/2x^-1/2 + 1
À medida que x to infty, obtemos 1/x^3/2to 0 e x^-1/2to 0.

Passo 4

Portanto o argumento de arctan tende a
1 + 00 + 1 = 1
Como arctan é contínua em todo R, podemos passar o limite para dentro:
limxtoinftyarctan!l(dotsr) =arctan!l(limxtoinfty(dots)r) =arctan(1)
E sabemos que arctan(1)=pi/4.

Resposta

pi4

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