Use integração por partes para calcular as integrais abaixo:
integral x^3 cos (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3cos(4x),dx
usando integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos aplicar essa técnica repetidas vezes, diminuindo o grau de x até chegar a uma integral elementar.

Passo 2

Primeira aplicação de partes. Escolhemos
u1 = x^3, dv1 = cos(4x),dx
Então
du1 = 3x^2,dx, v1 = integral cos(4x),dx = 14sin(4x)
Logo,
integral x^3cos(4x),dx = x^3cdot14sin(4x) - integral 14sin(4x)cdot 3x^2,dx = x^34sin(4x) - 34integral x^2sin(4x),dx

Passo 3

Segunda aplicação de partes para integral x^2sin(4x),dx. Tomamos
u2 = x^2, dv2 = sin(4x),dx,
então
du2 = 2x,dx, v2 = integral sin(4x),dx = -14cos(4x)
Assim,
integral x^2sin(4x),dx = x^2l(-14cos(4x)r) - integral l(-14cos(4x)r),2x,dx = -x^24cos(4x) + 12integral xcos(4x),dx

Passo 4

Terceira aplicação de partes para integral xcos(4x),dx. Definimos
u3 = x, dv3 = cos(4x),dx,
logo
du3 = dx, v3 = integral cos(4x),dx = 14sin(4x)
Daí
integral xcos(4x),dx = xcdot14sin(4x) - integral 14sin(4x),dx = x4sin(4x) + 116cos(4x)

Passo 5

Agora voltamos substituindo em cadeia:
  1. De

Passo 6

integral x^2sin(4x),dx = -x^24cos(4x) + 12l(x4sin(4x) + 116cos(4x)r) = -x^24cos(4x) + x8sin(4x) + 132cos(4x)
  1. Esse resultado em

Passo 7

integral x^3cos(4x),dx = x^34sin(4x) - 34l(-x^24cos(4x) + x8sin(4x) + 132cos(4x)r)
Fazendo a distribuição,
integral x^3cos(4x),dx = x^34sin(4x) + 3x^216cos(4x) - 3x32sin(4x) - 3128cos(4x) + C
Agrupando termos semelhantes,
integral x^3cos(4x),dx = l(x^34 - 3x32r)sin(4x) + l(3x^216 - 3128r)cos(4x) + C

Resposta

boxed integral x^3cos(4x),dx = l(x^34 - 3x32r)sin(4x) + l(3x^216 - 3128r)cos(4x) + C

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