Um jovem esportista se encontra num ponto
de uma represa circular com raio de 6 km e quer chegar no ponto
, diametralmente oposto a
, do outro lado da represa no menor tempo possível. Ele pode correr a uma taxa de
e remar um bote (que está no ponto
) a 6
. Determine o menor tempo possível para o esportista fazer o trajeto.
O objetivo é minimizar o tempo do percurso de
até
. Supor que
é outro ponto na circunferência tal que o jovem faz o percurso
de bote e
correndo à beira da represa, então:
Pelo teste da Segunda derivada a função tem valor mínimo em
e valor máximo em
. Ainda comparando os valores de t nos pontos extremos do intervalo:
;
e
.
Portanto o menor tempo possível a ser feito pelo esportista é aprox. 0,88h.
Pelo teste da Segunda derivada a função tem valor mínimo em
Portanto o menor tempo possível a ser feito pelo esportista é aprox. 0,88h.
Passo 1
Resumindo o problema: ponto
e
são extremos de um diâmetro de uma represa circular de raio
km. O bote está em
e se rema a
km/h; a corrida na margem é a
km/h. Precisamos achar o ponto
na margem que minimize o tempo total de remo de
a
mais corrida de
a
.
Passo 2
Seja
o ângulo central
. A corda
vale
e o arco
pela rota mais curta vale
Com
,
e
, o tempo total é
Passo 3
Derivando:
Igualando
vem
Passo 4
Avaliaremos
em
,
e
:
O menor valor é
, ou seja
e o atleta corre toda a meia circunferência.
Resposta
O menor tempo possível é
horas, ou aproximadamente
horas.