(2,5) Um jovem esportista se encontra num ponto O de uma represa circular com raio de 6 km e quer chegar no ponto P, diametralmente oposto a O, do outro lado da represa no menor tempo possível. Ele pode correr a uma taxa de 12 km / h e remar um bote (que está no ponto O ) a 6 km / h. Determine o menor tempo possível para o esportista fazer o trajeto.
O objetivo é minimizar o tempo do percurso de O até P. Supor que Q é outro ponto na circunferência tal que o jovem faz o percurso O Q de bote e Q P correndo à beira da represa, então:
t(theta)=O Q6+Q P12=12 cos theta6+12 theta12=2 cos theta+theta ; 0 <= t <= pi
t^prime(theta)=-2 sin theta+1 ; 0 <= t <= pi
t^prime(theta)=0 ; 0 <= t <= pi Long<=ftrightarrow t=pi6, 5 pi6
t^prime prime(theta)=-2 cos theta
Pelo teste da Segunda derivada a função tem valor mínimo em theta=5 pi6 e valor máximo em theta=pi6. Ainda comparando os valores de t nos pontos extremos do intervalo: t(0)=2; t(pi)=-2+pi e t(5 pi6)=-raiz3+5 pi6 simeq 0,88.
Portanto o menor tempo possível a ser feito pelo esportista é aprox. 0,88h.

Passo 1

Resumindo o problema: ponto O e P são extremos de um diâmetro de uma represa circular de raio 6 km. O bote está em O e se rema a 6 km/h; a corrida na margem é a 12 km/h. Precisamos achar o ponto Q na margem que minimize o tempo total de remo de O a Q mais corrida de Q a P.

Passo 2

Seja theta o ângulo central widehatCOQ. A corda OQ vale
OQ = 2R sinl(theta2r)
e o arco QP pela rota mais curta vale
QP = R,l(pi - thetar)
Com R=6, vrm remo=6 e vrm corrida=12, o tempo total é
t(theta) =OQ6+QP12 =2sinl(theta2r)+pi-theta2

Passo 3

Derivando:
t'(theta) =2cdot12cosl(theta2r)-12 =cosl(theta2r)-12
Igualando t'(theta)=0 vem
cosl(theta2r)=12 Longrightarrow theta=2pi3

Passo 4

Avaliaremos t em theta=0, theta=tfrac2pi3 e theta=pi:
t(0)=pi2approx1,571, tl(tfrac2pi3r) =raiz3+pi6approx2,256, t(pi)=2
O menor valor é t(0)=tfracpi2, ou seja Q=O e o atleta corre toda a meia circunferência.

Resposta

O menor tempo possível é
pi2
horas, ou aproximadamente 1,571 horas.

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