1. Ache as equações das retas tangentes ao gráfico de f(x)=x^2+1 que passam pelo ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas tangentes ao gráfico de f(x)=x^2+1 que passam por (1,1). Vamos usar o conceito de derivada para obter a inclinação da reta tangente e a forma ponto-inclinação para montar a equação de cada reta.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=2x,
que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x=a.

Passo 3

Em um ponto genérico l(a,f(a)r), a reta tangente tem equação na forma ponto-inclinação:
y - f(a) = f'(a),(x - a)

Passo 4

Exigimos que essa reta passe por (1,1). Substituindo (x,y)=(1,1) na equação da reta:
1 - l(a^2+1r) ;=; 2a,(1 - a)

Passo 5

Simplificando a condição em a:
1 - a^2 - 1 = 2a - 2a^2 Longrightarrow -a^2 = 2a - 2a^2 Longrightarrow a^2 - 2a = 0 Longrightarrow a(a-2)=0,
logo a=0 ou a=2. As inclinações são m=f'(a)=2a, isto é, m1=0 e m2=4.

Passo 6

Para a=0, o ponto de tangência é (0,1) e m=0, então
y - 1 = 0,(x - 0) Longrightarrow y = 1
Para a=2, o ponto de tangência é (2,5) e m=4, então
y - 5 = 4,(x - 2) Longrightarrow y = 4x - 3

Resposta

As retas procuradas são
y = 1 e y = 4x - 3

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