Calcule os limites caso existam
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite da função
quando
. Este é um caso de limite de função de duas variáveis e, para verificar se esse limite existe, vamos testar diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Uma estratégia típica é seguir retas que passam pela origem. Escolhemos a reta de inclinação
, dada por
, com
(para evitar divisão por zero na expressão).
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
que é um valor que depende de
.
Passo 4
Para ver que isso impede a existência de um limite único, basta comparar dois casos:
Para (reta
) temos
.
Para (reta
) temos
.
Como esses valores são diferentes, o limite varia conforme o caminho.
Para
Para
Como esses valores são diferentes, o limite varia conforme o caminho.
Passo 5
Quando o valor do limite depende do caminho de aproximação, dizemos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.