Calcule os limites caso existam
lim (x, y) (0,0) x+yx-y

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da função (x,y)mapsto x+yx-y quando (x,y)to(0,0). Este é um caso de limite de função de duas variáveis e, para verificar se esse limite existe, vamos testar diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Uma estratégia típica é seguir retas que passam pela origem. Escolhemos a reta de inclinação m, dada por y = m x, com mneq 1 (para evitar divisão por zero na expressão).

Passo 3

Substituindo y = m x em x+yx-y obtemos
x + m xx - m x = x(1+m)x(1-m) = 1+m1-m,
que é um valor que depende de m.

Passo 4

Para ver que isso impede a existência de um limite único, basta comparar dois casos:
Para m=0 (reta y=0) temos tfrac1+01-0=1.
Para m=2 (reta y=2x) temos tfrac1+21-2=-3.
Como esses valores são diferentes, o limite varia conforme o caminho.

Passo 5

Quando o valor do limite depende do caminho de aproximação, dizemos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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