Determine, se existirem, os pontos de mínimo e de máximo da função y=2 x e^2 x. Analise, ainda, o gráfico dessa função quanto à concavidade.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar os pontos de mínimo e máximo da função
y = 2x e^2x,
além de estudar a concavidade do gráfico. Para isso vamos usar cálculo diferencial: primeiro derivada para achar pontos críticos e depois segunda derivada para testar extremos e concavidade.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto em y = 2xcdot e^2x:
y' = ddx(2x),e^2x + 2x,ddx(e^2x) = 2,e^2x + 2xcdot 2,e^2x = 2e^2x(1 + 2x)
Para achar pontos críticos, igualamos y' a zero. Como e^2x>0 sempre, basta
1 + 2x = 0 Longrightarrow x = -tfrac12
O valor de y nesse ponto é
yl(-tfrac12r) = 2l(-tfrac12r)e^2cdot(-1/2) = -1cdot e^-1 = -e^-1

Passo 3

Agora a segunda derivada para testar extremos e concavidade. Partindo de
y' = 2e^2x(1 + 2x),
aplicamos produto e cadeia:
y'' = 2l[2e^2x(1+2x) + e^2xcdot2r] = 4e^2x(1+2x) + 4e^2x = 4e^2xl((1+2x)+1r) = 4e^2x(2+2x) = 8e^2x(1 + x)

Passo 4

Para concavidade, analisamos o sinal de
y'' = 8e^2x(1+x)
Como 8e^2x>0 sempre, o sinal depende de 1+x:
  • Se x < -1, então 1+x<0 e y''<0: concavidade para baixo.
  • Se x > -1, então 1+x>0 e y''>0: concavidade para cima.
    No ponto x = -1 ocorre inflexão; o valor é
y(-1) = 2(-1)e^2(-1) = -2e^-2

Passo 5

Para classificar o ponto crítico x=-tfrac12, observamos que -tfrac12 > -1, logo y''(-tfrac12)>0. Isso indica que a função é côncava para cima ali e, portanto, temos um mínimo local em
l(-tfrac12,,-e^-1r)
Não há outro ponto onde y'=0, logo não há máximo local.

Resposta

Ponto de mínimo local em l(-tfrac12,,-e^-1r).
Não há ponto de máximo.
A concavidade é para baixo em (-infty,-1) e para cima em (-1,+infty), com ponto de inflexão em l(-1,,-2e^-2r).

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