Determine, se existirem, os pontos de mínimo e de máximo da função
. Analise, ainda, o gráfico dessa função quanto à concavidade.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar os pontos de mínimo e máximo da função
além de estudar a concavidade do gráfico. Para isso vamos usar cálculo diferencial: primeiro derivada para achar pontos críticos e depois segunda derivada para testar extremos e concavidade.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto em
:
Para achar pontos críticos, igualamos
a zero. Como
sempre, basta
O valor de
nesse ponto é
Passo 3
Agora a segunda derivada para testar extremos e concavidade. Partindo de
aplicamos produto e cadeia:
Passo 4
Para concavidade, analisamos o sinal de
Como
sempre, o sinal depende de
:
- Se
, então e : concavidade para baixo. - Se
, então e : concavidade para cima.
No pontoocorre inflexão; o valor é
Passo 5
Para classificar o ponto crítico
, observamos que
, logo
. Isso indica que a função é côncava para cima ali e, portanto, temos um mínimo local em
Não há outro ponto onde
, logo não há máximo local.
Resposta
Ponto de mínimo local em
.
Não há ponto de máximo.
A concavidade é para baixo em e para cima em
, com ponto de inflexão em
.
Não há ponto de máximo.
A concavidade é para baixo em