Q. 2(2,4). Escreva a definição de derivada para uma função f num ponto x=p. Com esta definição determine a derivada da função f(x)=1sen(x)+2 e da função g(x)=raizx+6+raizx+2, no ponto p=0.
A derivada de f num ponto x=p é dada pelo limite lim h 0 f(p+h)-f(p)h e indicada por f^prime(p). Por esta definição, temos:
f^prime(0) & =lim h 0 1sen(0+h)+2-1sen(0)+2h=lim h 0 1sen(h)+2-12h=lim h 0 2-[sen(h)+2]2 h[sen(h)+2] & =lim h 0 sen(h)h cdot -12[sen(h)+2]=-14 g^prime(0) & =lim h 0 raiz0+h+6+raiz0+h+2-(raiz0+6+raiz0+2)h=lim h 0 raizh+6+raizh+2-raiz6-raiz2h & =lim h 0[raizh+6-raiz6h+raizh+2-raiz2h]=lim h 0 raizh+6-raiz6h+lim h 0 raizh+2-raiz2h & =cdots racionalize cdots=raiz6+raiz24 raiz3

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada num ponto e calcular f'(0) para
f(x)=1sin(x)+2
e g'(0) para
g(x)=raizx+6+raizx+2.
A definição de derivada num ponto p é
f'(p)=limhto 0f(p+h)-f(p)h

Passo 2

Para f(x)=1sin(x)+2 temos f(0)=tfrac12. Então
f'(0)=limhto01sin(h)+2-12h
Juntando frações no numerador com denominador comum 2(sin(h)+2), obtemos
1sin(h)+2-12 =2-(sin(h)+2)2(sin(h)+2) =-sin(h)2(sin(h)+2)
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f'(0) =limhto0-sin(h)2h(sin(h)+2) =limhto0l(-12(sin(h)+2)cdotsin(h)hr)
Como sin(h)/hto1 e sin(h)+2to2 em hto0, segue
f'(0)=-12cdot2=-14

Passo 3

Para g(x)=raizx+6+raizx+2 temos g(0)=raiz6+raiz2 e
g'(0) =limhto0raizh+6+raizh+2-(raiz6+raiz2)h =limhto0raizh+6-raiz6h +limhto0raizh+2-raiz2h
Racionalizando cada fração:
raizh+6-raiz6h =hh(raizh+6+raiz6) =1raizh+6+raiz6, raizh+2-raiz2h =1raizh+2+raiz2
Tomando hto0
12raiz6+12raiz2 =12l(1raiz6+1raiz2r) =raiz6+raiz24raiz3

Resposta

f'(0)=-tfrac14
g'(0)=dfracraiz6+raiz24raiz3

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