Determine, se existirem, os valores de x \in D(f)\), nos quais a função \(f(x)\) não é contínua. e) \(f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-3 x+4}{x-1}, & x \neq 1 \\\\ 1, & x=1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-3x+4}{x-1},&x\neq1,\\\\ 1,&x=1, \end{cases}
e pede os pontos de D(f) onde f não é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes e limites. Vamos analisar separadamente para x\neq1 e para x=1.

Passo 2

Para qualquer x\neq1, a expressão
\frac{x^{2}-3x+4}{x-1}
é um quociente de polinômios cujo denominador não se anula, logo é contínua em todo ponto com x\neq1.

Passo 3

No ponto x=1, examinamos o limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-3x+4}{x-1}.
O numerador tende a
1^{2}-3\cdot1+4=2
enquanto o denominador tende a zero, de modo que o quociente cresce sem limite (vai para \pm\infty). Esse limite não é finito e, portanto, não pode coincidir com f(1)=1. Concluímos que f é descontinua em x=1.

Resposta

A única descontinuidade de f em seu domínio ocorre em x=1.

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