Determine, se existirem, os zeros da função quadrática f(x)=2 x^{2}-3 x+5

Passo 1

O enunciado pede os zeros da função quadrática
f(x)=2x^{2}-3x+5,
isto é, as soluções de f(x)=0. O conteúdo envolvido é a resolução de equações do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara, que requer o cálculo do discriminante \Delta.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a=2,\quad b=-3,\quad c=5.
Em seguida, calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2} - 4\cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31.

Passo 3

Como \Delta<0, não há raízes reais (não podemos extrair raiz quadrada de número negativo no conjunto dos reais). Logo, a função não zera para nenhum x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para encontrar as raízes no conjunto dos complexos, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{-31}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{31}}{4}.

Resposta

A função não possui zeros reais.
As raízes complexas são \displaystyle x = \frac{3 + i\sqrt{31}}{4} e \displaystyle x = \frac{3 - i\sqrt{31}}{4}.

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