Determine a expansão binomial e o raio de convergência de 1(5+x^2)^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a expansão binomial de e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar usar o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo, e entender um pouco sobre séries para achar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação do Teorema Binomial. Observa que podemos fatorar o 5:
1(5 + x^2)^3 = 15^3 (1 + x^25)^3 = 1125 (1 + x^25)^-3

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Binomial para expandir (1 + y)^k = sumn=0^infty binomkn y^n . O teorema nos diz que:
(1 + x^25)^-3 = sumn=0^infty binom-3n (x^25)^n
onde é o coeficiente binomial generalizado. No nosso caso, e :

Passo 4

Calculamos o coeficiente binomial binom-3n = (-1)^n (n + 2)(n + 1)2 :
(1 + x^25)^-3 = sumn=0^infty (-1)^n (n + 2)(n + 1)2 (x^25)^n
Substituindo de volta na série:
1(5 + x^2)^3 = 1125 sumn=0^infty (-1)^n (n + 2)(n + 1)2 (x^25)^n
Multiplicando pela constante que tiramos no início ( ):

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. Para isso, usamos o critério da razão, que nos diz que a série converge quando:
limn to infty | an+1an | < 1
No nosso caso, limn to infty | (n + 3)(n + 2)2 (x^25)^n+1 cdot 2(n + 2)(n + 1) (5x^2)^n | = limn to infty | (n + 3)(n + 1) cdot x^25 | = | x^25 | . Calculando a razão:
| x^25 | < 1 implies |x| < raiz5
Para que isso seja menor que 1:

Resposta

A expansão binomial de 1125 sumn=0^infty (-1)^n (n + 2)(n + 1)2 (x^25)^n é:
E o raio de convergência dessa série é .

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