Determine a expansão binomial e o raio de convergência de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a expansão binomial de e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar usar o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo, e entender um pouco sobre séries para achar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação do Teorema Binomial. Observa que podemos fatorar o 5:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema Binomial para expandir . O teorema nos diz que:
onde é o coeficiente binomial generalizado. No nosso caso, e :
Passo 4
Calculamos o coeficiente binomial :
Substituindo de volta na série:
Multiplicando pela constante que tiramos no início ():
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. Para isso, usamos o critério da razão, que nos diz que a série converge quando: