Exercs. 1-4: Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n 5^-n

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série alternada dada por sumn=1^infty(-1)^n-1 cdot n cdot 5^-n. Queremos verificar se essa série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste das séries alternadas e, em seguida, determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que são séries alternadas e como aplicar esse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste das séries alternadas. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries cuja sequência de termos alterna em sinal, ou seja, positivos e negativos alternadamente. As duas condições principais desse teste são:
(i) O termo geral da série, em módulo, deve ser decrescente.
(ii) O limite do termo geral em módulo, quando n tende ao infinito, deve ser igual a zero.
No nosso caso, o termo geral é an = n cdot 5^-n. Vamos verificar se essas condições são satisfeitas.

Passo 3

Vamos verificar a condição (i): se os termos estão decrescendo. Isso significa que cada termo an+1 deve ser menor que an. Calculando:
an = n cdot 5^-n
an+1 = (n+1) cdot 5^-(n+1) = (n+1) cdot 5^-n cdot 5^-1 = n+15 cdot 5^-n
Comparando an+1 com an:
an+1 = n+15 cdot 5^-n < n cdot 5^-n = an para todo n positivo, já que n+15 < n quando n > 1.
Portanto, a condição (i) é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição (ii): o limite do termo geral em módulo quando n tende ao infinito deve ser zero.
Calculamos:
limn to infty an = limn to infty n cdot 5^-n
Sabemos que, para qualquer constante base maior que 1, como 5 aqui, 5^-n tende a zero muito mais rápido do que n cresce. Portanto:
limn to infty n cdot 5^-n = 0
Assim, a condição (ii) também é satisfeita.

Resposta

Como as duas condições do teste das séries alternadas são atendidas, concluímos que a série sumn=1^infty(-1)^n-1 n 5^-n converge.

Exercícios relacionados