Exercs. 1-4: Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série alternada dada por
. Queremos verificar se essa série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste das séries alternadas e, em seguida, determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que são séries alternadas e como aplicar esse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste das séries alternadas. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries cuja sequência de termos alterna em sinal, ou seja, positivos e negativos alternadamente. As duas condições principais desse teste são:
(i) O termo geral da série, em módulo, deve ser decrescente.
(ii) O limite do termo geral em módulo, quando n tende ao infinito, deve ser igual a zero.
No nosso caso, o termo geral é
. Vamos verificar se essas condições são satisfeitas.
Passo 3
Vamos verificar a condição (i): se os termos estão decrescendo. Isso significa que cada termo
deve ser menor que
. Calculando:
Comparando
com
:
Portanto, a condição (i) é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição (ii): o limite do termo geral em módulo quando n tende ao infinito deve ser zero.
Calculamos:
Sabemos que, para qualquer constante base maior que 1, como 5 aqui,
tende a zero muito mais rápido do que n cresce. Portanto:
Assim, a condição (ii) também é satisfeita.
Resposta
Como as duas condições do teste das séries alternadas são atendidas, concluímos que a série
converge.