Exercs. 1-4: Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n+1 nn^2+4

Passo 1

A série é da forma ∑(-1)^{n+1}b_n com b_n= nn^2+4. O conteúdo é o teste de séries alternadas (Leibniz) e para aplicá-lo precisamos verificar: (i) b_n tende a zero e (ii) b_n é decrescente a partir de algum n.

Passo 2

Vamos calcular o limite de b_n para ver a condição (i). Temos
limntoinfty nn^2+4 = limntoinfty 1n + 4/n = 0

Passo 3

Portanto bnto0 quando ntoinfty, satisfazendo a condição (i).
Para a condição (ii) estudamos a monotonia de bn. Definindo a função f(x)= xx^2+4, sua derivada é

Passo 4

Essa derivada é negativa para x>2, ou seja, f(x) decresce a partir de x=2. Logo b_n é decrescente para n≥2.
Como as duas condições do teste de Leibniz estão satisfeitas, concluímos que a série converge.

Passo 5

Como a série não converge absolutamente (pois b_n~1/n faz ∑b_n divergir), a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste das séries alternadas.

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