Exercs. 1-4: Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
A série é da forma ∑(-1)^{n+1}b_n com b_n=
. O conteúdo é o teste de séries alternadas (Leibniz) e para aplicá-lo precisamos verificar: (i) b_n tende a zero e (ii) b_n é decrescente a partir de algum n.
Passo 2
Vamos calcular o limite de b_n para ver a condição (i). Temos
Passo 3
Portanto
quando
, satisfazendo a condição (i).
Para a condição (ii) estudamos a monotonia de . Definindo a função f(x)=
, sua derivada é
Para a condição (ii) estudamos a monotonia de
Passo 4
Essa derivada é negativa para x>2, ou seja, f(x) decresce a partir de x=2. Logo b_n é decrescente para n≥2.
Como as duas condições do teste de Leibniz estão satisfeitas, concluímos que a série converge.
Como as duas condições do teste de Leibniz estão satisfeitas, concluímos que a série converge.
Passo 5
Como a série não converge absolutamente (pois b_n~1/n faz ∑b_n divergir), a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste das séries alternadas.