Fazendo uso da definição, mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Isso faz parte do estudo de limites em cálculo, especificamente usando a definição formal de limite. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de limite, que envolve os conceitos de
(erro permitido) e
(intervalo ao redor de
).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Precisamos mostrar que para qualquer
, podemos encontrar um
tal que se
, então
.
Passo 4
Calculando
:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Isso nos dá uma condição para
. Portanto, podemos escolher
.
Passo 6
Com
, sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.
Resposta
Portanto,
conforme a definição de limite.