Fazendo uso da definição, mostre que lim x -2(4-2 x)=8.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Isso faz parte do estudo de limites em cálculo, especificamente usando a definição formal de limite. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de limite, que envolve os conceitos de (erro permitido) e (intervalo ao redor de ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Aqui, e .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que se , então .

Passo 4

Calculando |(4 - 2x) - 8| = |-2x - 4| = 2|x + 2| :
2|x + 2| < epsilon
Queremos que isso seja menor que :

Passo 5

Agora, resolvemos para |x + 2| < epsilon2 :
Isso nos dá uma condição para . Portanto, podemos escolher .

Passo 6

Com |f(x) - 8| = 2|x + 2| < 2 cdot epsilon2 = epsilon , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Portanto, conforme a definição de limite.

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