Seja f: C C uma função inteira. Suponha que f(z) neq 0 para todo z in C e que o limite lim z infty f(z) existe e é não nulo. Mostre que f é constante.

Passo 1

Então, a gente tem uma função inteira $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $, ou seja, uma função que é analítica em todo o plano complexo. Sabemos que $ f(z) \neq 0 $ para todo $ z $ e que o limite de $ f(z) $ quando $ z $ vai para o infinito existe e é diferente de zero. A nossa missão é mostrar que essa função $ f $ é constante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções inteiras, limites no infinito e o famoso Teorema de Liouville.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que a função é inteira. Uma função inteira é uma função analítica em todo o plano complexo, ou seja, ela é diferenciável em qualquer ponto de $ \mathbb{C} $.

Passo 3

Sabemos também que $ f(z) \neq 0 $ para todo $ z $. Isso é importante porque significa que a função não tem zeros, o que nos permite usar o logaritmo da função.

Passo 4

Vamos considerar o logaritmo de $ f(z) $. Como $ f(z) $ nunca é zero, podemos definir uma função $ g(z) = \ln(f(z)) $. Essa função $ g(z) $ também será inteira porque $ f(z) $ é inteira e não tem zeros.

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de $ g(z) $ à medida que $ z $ vai para o infinito. Sabemos que $ \lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = L $, onde $ L $ é uma constante não nula. Então, $ \lim_{z \rightarrow \infty} g(z) = \ln(L) $, que também é uma constante.

Passo 6

Como $ g(z) $ tende a uma constante quando $ z $ vai para o infinito, isso significa que $ g(z) $ é limitada no infinito. E já que $ g(z) $ é inteira e tende a um limite constante no infinito, pelo Teorema de Liouville, que afirma que toda função inteira limitada é constante, concluímos que $ g(z) $ é constante em todo o plano complexo.

Passo 7

Se $ g(z) $ é constante, isso significa que $ \ln(f(z)) $ é constante. Portanto, $ f(z) $ também deve ser constante, já que o logaritmo de uma constante é uma constante.

Resposta

Assim, mostramos que $ f $ é uma função constante.

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