Determine a expansão em série de Fourier das funções a seguir:
a função de período 6 satisfazendo
Passo 1
A função f(x) é 6-periódica e vale 0 em [−3,−1), vale 1 em [−1,1] e vale 0 em (1,3]. O conteúdo é série de Fourier de período T=6 (L=T/2=3). Para resolver, vamos usar a forma geral da expansão em termos dos coeficientes a₀, aₙ e bₙ, e a ortogonalidade de cos(nπx/3) e sin(nπx/3).
Passo 2
Como a série de Fourier de período 6 se escreve
os coeficientes são dados por
Passo 3
Vamos calcular a₀. Como f(x)=1 só em [−1,1] e 0 no resto de [−3,3], temos
Logo, a₀/2=1/3.
Passo 4
Agora aₙ. Só integra em [−1,1]:
Fazendo a primitiva,
Então
Passo 5
Por fim bₙ. Também em [−1,1]:
A primitiva é
e avaliando nos limites aparece
Passo 6
Juntando tudo, a série de Fourier de f(x) fica