Determine a expansão em série de Fourier das funções a seguir:
f(x) a função de período 6 satisfazendo
f(x)= 0, & -3 <= x<-1 1, & -1 <= x <= 1 0, & 1

Passo 1

A função f(x) é 6-periódica e vale 0 em [−3,−1), vale 1 em [−1,1] e vale 0 em (1,3]. O conteúdo é série de Fourier de período T=6 (L=T/2=3). Para resolver, vamos usar a forma geral da expansão em termos dos coeficientes a₀, aₙ e bₙ, e a ortogonalidade de cos(nπx/3) e sin(nπx/3).

Passo 2

Como a série de Fourier de período 6 se escreve
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancosl(tfracnpi x3r)+bnsinl(tfracnpi x3r)r),
os coeficientes são dados por
a0=13integral-3^3f(x),dx,
an=13integral-3^3f(x)cosl(tfracnpi x3r),dx,
bn=13integral-3^3f(x)sinl(tfracnpi x3r),dx

Passo 3

Vamos calcular a₀. Como f(x)=1 só em [−1,1] e 0 no resto de [−3,3], temos
a0=13integral-1^11,dx=13(1-(-1))=23
Logo, a₀/2=1/3.

Passo 4

Agora aₙ. Só integra em [−1,1]:
an=13integral-1^1cosl(tfracnpi x3r),dx
Fazendo a primitiva,
integralcosl(tfracnpi x3r)dx=3npisinl(tfracnpi x3r)
Então
an=13cdot3npil[sinl(tfracnpi x3r)r]-1^1=1npil(sin(tfracnpi3)-sin(-tfracnpi3)r)=2sin(tfracnpi3)npi

Passo 5

Por fim bₙ. Também em [−1,1]:
bn=13integral-1^1sinl(tfracnpi x3r)dx
A primitiva é
-3npicosl(tfracnpi x3r)
e avaliando nos limites aparece
bn=-13cdot3npil(cos(tfracnpi3)-cos(-tfracnpi3)r)=0 \npois cos é par.

Passo 6

Juntando tudo, a série de Fourier de f(x) fica
f(x)=13+sumn=1^infty2sinl(tfracnpi3r)npicosl(tfracnpi x3r)

Resposta

f(x)=13+sumn=1^infty2sinl(tfracnpi3r)npicosl(tfracnpi x3r)

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