Obtenha uma representação em série de potências (em torno de
) para as seguintes funções; determine também o intervalo de convergência para cada uma das séries. Use
, se
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências, em torno de x₀=0, da função
e seu intervalo de convergência. O conteúdo envolve séries geométricas, pois sabemos que
para
.
Passo 2
Escrevemos
em termos de duas frações que conhecemos:
Em ambas as parcelas podemos usar a série de potências geométrica.
Passo 3
Aplicando
e
, obtemos:
Ou seja, os coeficientes da série são
Passo 4
Como cada série geométrica usada só converge se
, a combinação também só faz sentido para
. Portanto, o intervalo de convergência é
.