Obtenha uma representação em série de potências (em torno de x0=0 ) para as seguintes funções; determine também o intervalo de convergência para cada uma das séries. Use 1+x+x^2+cdots+x^n+cdots = 1 /(1-x), se |x|<1.
f(x)=1+x1-x

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências, em torno de x₀=0, da função f(x)=1+x1-x e seu intervalo de convergência. O conteúdo envolve séries geométricas, pois sabemos que sumn=0^infty x^n=11-x para |x|<1.

Passo 2

Escrevemos f(x) em termos de duas frações que conhecemos:
f(x)=1+x1-x=11-x+x1-x
Em ambas as parcelas podemos usar a série de potências geométrica.

Passo 3

Aplicando 11-x=sumn=0^infty x^n e x1-x=sumn=0^infty x^n+1=sumn=1^infty x^n, obtemos:
f(x)=sumn=0^infty x^n+sumn=1^infty x^n=1+2sumn=1^infty x^n
Ou seja, os coeficientes da série são a0=1 e an=2 para n>=1, o que dá explicitamente 1+2x+2x^2+2x^3+cdots.

Passo 4

Como cada série geométrica usada só converge se |x|<1, a combinação também só faz sentido para |x|<1. Portanto, o intervalo de convergência é |x|<1.

Resposta

f(x)=1+2x+2x^2+2x^3+cdots, com intervalo de convergência |x|<1.

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