Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m^2 de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa, e as dimensões da caixa que realizam esse volume.

Passo 1

O enunciado pede para montar uma caixa aberta (sem tampa) com área total de papelão de 12 m² de modo a maximizar o volume. O conteúdo é otimização de funções de várias variáveis com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.

Passo 2

Definimos as variáveis: x e y são as dimensões da base retangular e z é a altura da caixa. O volume é
V(x,y,z)=xyz
E a área de papelão (base mais as quatro laterais) é
A(x,y,z)=xy+2xz+2yz=12

Passo 3

Construímos a função de Lagrange:
$$
L(x,y,z,\lambda)=xyz-\lambda\bigl(xy+2xz+2yz-12\bigr)
L(x,y,z,lambda)=xyz-lambdal(xy+2xz+2yz-12r) çõó
dfracpartial Lpartial x:; yz-lambda,(y+2z)=0, dfracpartial Lpartial y:; xz-lambda,(x+2z)=0, dfracpartial Lpartial z:; xy-2lambda,(x+y)=0, xy+2xz+2yz-12=0
$$

Passo 4

Das duas primeiras equações:
yzy+2z=xzx+2z
por simetria a solução ótima satisfaz x=y. Substituindo y=x nas equações de Lagrange, da primeira obtemos
lambda=xzx+2z
e da terceira
x^2=4lambda x;Rightarrow;lambda= x4
Igualando essas duas expressões para lambda vem
x4=xzx+2z;Rightarrow;x(x+2z)=4xz;Rightarrow;x^2=2xz;Rightarrow;x=2z

Passo 5

Com x= y = 2z, substituímos na restrição de área:
xy+2xz+2yz= x^2+4xz= (2z)^2+4,(2z)z=4z^2+8z^2=12z^2=12
logo
z^2=1;Rightarrow;z=1,(mantemos positivo)
Então
x=y=2z=2e z=1

Passo 6

Calculamos o volume máximo:
Vmax=x,y,z=2times2times1=4,m^3

Resposta

O volume máximo é 4 m³, obtido com base quadrada de 2 m×2 m e altura 1 m.

Exercícios relacionados