Obtenha uma representação em série de potências (em torno de x0=0 ) para as seguintes funções; determine também o intervalo de convergência para cada uma das séries. Use 1+x+x^2+cdots+x^n+cdots = 1 /(1-x), se |x|<1.
f(x)=x2 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de potências em torno de x0=0 para f(x)=x2x^2+1 e determinar o intervalo de convergência. Vamos usar a ideia de escrever f como x vezes uma série geométrica.

Passo 2

Reescrevendo f(x) como produto de x por uma fração adequada, temos
f(x)=x2x^2+1=xcdot11+2x^2
Aqui reconhecemos a forma 1/(1-u) com u=-2x^2.

Passo 3

Aplicando a série geométrica 1/(1-u)=sumn=0^infty u^n para u=-2x^2, obtemos
11+2x^2=sumn=0^infty(-2x^2)^n=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n,
válido sempre que |u|<1, ou seja |2x^2|<1.

Passo 4

Multiplicando termo a termo por x, a série de f(x) fica
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n+1

Passo 5

Para verificar o intervalo de convergência, lembramos que precisamos de |2x^2|<1, ou seja |x|<1/raiz2. Nos extremos x=pm1/raiz2 os termos não tendem a zero, então não há convergência. Assim o intervalo de convergência é
-tfrac1raiz2

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n+1, intervalo de convergência: -1/raiz2,,1/raiz2.

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