Obtenha uma representação em série de potências (em torno de
) para as seguintes funções; determine também o intervalo de convergência para cada uma das séries. Use
, se
.
Passo 1
O enunciado pede para obter a série de potências em torno de
para
e determinar o intervalo de convergência. Vamos usar a ideia de escrever
como
vezes uma série geométrica.
Passo 2
Reescrevendo
como produto de
por uma fração adequada, temos
Aqui reconhecemos a forma
com
.
Passo 3
Aplicando a série geométrica
para
, obtemos
válido sempre que
, ou seja
.
Passo 4
Multiplicando termo a termo por
, a série de
fica
Passo 5
Para verificar o intervalo de convergência, lembramos que precisamos de
, ou seja
. Nos extremos
os termos não tendem a zero, então não há convergência. Assim o intervalo de convergência é