Determine a expansão em série de Fourier das funções a seguir:
f(x) a função 2 pi-periódica tal que f(x)=x^2, para -pi <= x <= pi.

Passo 1

A função dada é f(x)=x², estendida como função 2π-periódica em [-π,π]. O conteúdo aqui é série de Fourier de uma função par e vamos usar a ortogonalidade de cossenos.

Passo 2

Como f é par, só aparecem termos de cosseno. A forma geral da série de Fourier para uma função par 2π-periódica é
f(x)=a02+sumn=1^inftyancos(nx),
com
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx,
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx

Passo 3

Calculando o coeficiente a₀ temos
a0=1piintegral-pi^pix^2,dx=2piintegral0^pix^2,dx=2picdotpi^33=2pi^23
Portanto o termo constante é a₀/2=π²/3.

Passo 4

Agora calculamos aₙ para n≥1 usando simetria:
an=1piintegral-pi^pix^2cos(nx),dx=2piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Chamando I=∫₀^π x²cos(nx)dx e aplicando integração por partes duas vezes, obtém-se
I=2pi(-1)^nn^2
Assim
an=2picdot2pi(-1)^nn^2=4(-1)^nn^2

Passo 5

Portanto a expansão em série de Fourier de f(x)=x² é dada por incluir apenas o termo constante e os termos de cosseno com os coeficientes encontrados.

Resposta

x^2=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

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