Determine a expansão em série de Fourier das funções a seguir:
a função
-periódica tal que
, para
.
Passo 1
A função dada é f(x)=x², estendida como função 2π-periódica em [-π,π]. O conteúdo aqui é série de Fourier de uma função par e vamos usar a ortogonalidade de cossenos.
Passo 2
Como f é par, só aparecem termos de cosseno. A forma geral da série de Fourier para uma função par 2π-periódica é
com
Passo 3
Calculando o coeficiente a₀ temos
Portanto o termo constante é a₀/2=π²/3.
Passo 4
Agora calculamos aₙ para n≥1 usando simetria:
Chamando I=∫₀^π x²cos(nx)dx e aplicando integração por partes duas vezes, obtém-se
Assim
Passo 5
Portanto a expansão em série de Fourier de f(x)=x² é dada por incluir apenas o termo constante e os termos de cosseno com os coeficientes encontrados.