Obtenha o desenvolvimento em série de senos para a função
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de senos (série de Fourier do tipo seno) para a função f(x) definida em 0<x<2, com f(x)=x em 0<x≤1 e f(x)=1 em 1≤x<2. O conteúdo envolve séries de Fourier ontem [0,L] com L=2, uso de fórmula de coeficientes e integração por partes.
Passo 2
Numa série de senos em [0,L] (aqui L=2) representamos a função como
. Os coeficientes são dados por
No nosso caso fica
Passo 3
Vamos quebrar a integral em dois trechos conforme a definição de f(x):
Passo 4
Para calcular
, usamos integração por partes escolhendo
e
. Isso leva a
Passo 5
Para
basta integrar diretamente:
Passo 6
Somando
obtemos
Passo 7
Substituindo
e usando
, chega-se a
Passo 8
Por fim, a expansão em série de senos é