Obtenha o desenvolvimento em série de senos para a função
f(x)= x, & se 0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de senos (série de Fourier do tipo seno) para a função f(x) definida em 0<x<2, com f(x)=x em 0<x≤1 e f(x)=1 em 1≤x<2. O conteúdo envolve séries de Fourier ontem [0,L] com L=2, uso de fórmula de coeficientes e integração por partes.

Passo 2

Numa série de senos em [0,L] (aqui L=2) representamos a função como f(x)=sumn=1^inftybnsinl(tfracnpi xLr). Os coeficientes são dados por bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(npi xLr),dx No nosso caso fica bn=integral0^2f(x)sinl(tfracnpi x2r),dx

Passo 3

Vamos quebrar a integral em dois trechos conforme a definição de f(x):
bn=integral0^1xsinl(alpha xr),dx+integral1^21cdotsinl(alpha xr),dx,onde definimos alpha=tfracnpi2.

Passo 4

Para calcular I1=integral0^1xsin(alpha x),dx, usamos integração por partes escolhendo u=x e dv=sin(alpha x)dx. Isso leva a
I1=sinalphaalpha^2-cosalphaalpha

Passo 5

Para I2=integral1^2sin(alpha x),dx basta integrar diretamente:
I2=l[-cos(alpha x)alphar]1^2=cosalpha-cos(2alpha)alpha

Passo 6

Somando I1+I2 obtemos
bn=sinalphaalpha^2-cosalphaalpha+cosalpha-cos(2alpha)alpha= racsinalphaalpha^2-cos(2alpha)alpha

Passo 7

Substituindo alpha=tfracnpi2 e usando cos(2alpha)=cos(npi)=(-1)^n, chega-se a
bn=4sinl(tfracnpi2r)n^2pi^2-2(-1)^nnpi

Passo 8

Por fim, a expansão em série de senos é
f(x)=sumn=1^inftyl(4sinl(tfracnpi2r)n^2pi^2-2(-1)^nnpir)sinl(npi x2r)

Resposta

f(x)=sumn=1^inftyl(4sinl(tfracnpi2r)n^2pi^2-2(-1)^nnpir)sinl(npi x2r)

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