Obtenha o desenvolvimento em série de cossenos para a função
f(x)= 1, & se 0

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de cossenos (série de Fourier de cossenos) para a função definida em [0,2] por
f(x)=1,&0
Vamos usar a forma padrão de meia-onda:
f(x)=a02+sumn=1^inftyancosl(npi x2r),
onde
a0=22integral0^2f(x),dx,
e
an=22integral0^2f(x)cosl(npi x2r),dx

Passo 2

Vamos calcular primeiro o coeficiente a0:
a0=1cdotl(integral0^1 1,dx+integral1^2 0,dxr)=integral0^1 1,dx=1
Logo o termo constante é a0/2=1/2.

Passo 3

Agora o coeficiente geral an:
an=integral0^2f(x)cosl(npi x2r),dx=integral0^1cosl(npi x2r),dx
Integramos:
integral0^1cosl(npi x2r)dx=l[2npisinl(npi x2r)r]0^1=2npisinl(npi2r)

Passo 4

Observando o fator sin(npi/2), só os n ímpares contribuem. Para n=2m+1,
sinl((2m+1)pi2r)=(-1)^m
Logo
a2m+1=2(2m+1)pi(-1)^m,
e a2m=0.

Passo 5

Substituindo na série, obtemos
f(x)=12+summ=0^inftya2m+1cosl((2m+1)pi x2r) =12+summ=0^infty2(-1)^m(2m+1)picosl((2m+1)pi x2r)

Passo 6

Pronto! Esse é o desenvolvimento em série de cossenos da função dada.

Resposta

f(x)=12+summ=0^infty2(-1)^m(2m+1)picosl((2m+1)pi x2r)

Exercícios relacionados