Determine a expansão em série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos encontrar a série de Maclaurin (expansão em torno de zero) da função g(x)=e{x{2}}. O conteúdo envolve séries de Taylor/Maclaurin, em particular a expansão da função exponencial.
Passo 2
Na teoria de séries de Maclaurin, a fórmula geral para e^{t} é dada por
onde t é uma variável ou expressão qualquer.
Para aplicar essa fórmula à nossa função, basta identificar t=x^{2}. Então substituímos t por x^{2} em
Para aplicar essa fórmula à nossa função, basta identificar t=x^{2}. Então substituímos t por x^{2} em
obtendo
Isso mostra como cada potência de x aparece apenas nas potências pares.
Passo 3
Podemos também escrever os primeiros termos para visualizar melhor a expansão:
Como sabemos que a série de Maclaurin de e^{t} converge para todo t, aqui ela também converge para todo x.
Portanto, a expansão de Maclaurin de g(x)=e{x{2}} fica expressa pelo somatório acima com raio de convergência infinito.
Portanto, a expansão de Maclaurin de g(x)=e{x{2}} fica expressa pelo somatório acima com raio de convergência infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de g(x)=e{x{2}} é