Determine a expansão em série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções:
g(x)=e^x^2

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar a série de Maclaurin (expansão em torno de zero) da função g(x)=e{x{2}}. O conteúdo envolve séries de Taylor/Maclaurin, em particular a expansão da função exponencial.

Passo 2

Na teoria de séries de Maclaurin, a fórmula geral para e^{t} é dada por
e^t=sumn=0^inftyt^nn!
onde t é uma variável ou expressão qualquer.
Para aplicar essa fórmula à nossa função, basta identificar t=x^{2}. Então substituímos t por x^{2} em
e^t=sumn=0^inftyt^nn!
obtendo
g(x)=e^x^2=sumn=0^infty(x^2)^nn!=sumn=0^inftyx^2nn!
Isso mostra como cada potência de x aparece apenas nas potências pares.

Passo 3

Podemos também escrever os primeiros termos para visualizar melhor a expansão:
g(x)=1 + x^2 + x^42! + x^63! + x^84! + cdots
Como sabemos que a série de Maclaurin de e^{t} converge para todo t, aqui ela também converge para todo x.
Portanto, a expansão de Maclaurin de g(x)=e{x{2}} fica expressa pelo somatório acima com raio de convergência infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de g(x)=e{x{2}} é
sumn=0^inftyx^2nn!

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