Encontre uma solução geral para a equação de Cauchy-Euler
x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+6 x y y^prime-6 y=x^-1, x>0

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de Cauchy-Euler:
x^3 y''' - 3 x^2 y'' + 6 x y' - 6 y = x^-1, x > 0
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas específicas para equações de Cauchy-Euler, que envolvem substituições e resolução de equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples dividindo todos os termos por $ x^{3} $:
x^3
Isso facilita a identificação dos coeficientes e a aplicação da técnica adequada.

Passo 3

Em equações de Cauchy-Euler, fazemos a substituição $ y = x^{m} $. Vamos encontrar a equação característica substituindo $ y = x^{m} $ na equação homogênea associada:
y = x^m
Calculando as derivadas:
y = x^m
y''' - 3x y'' + 6x^2 y' - 6x^3 y = 0
y' = m x^m-1
Substituindo na equação homogênea:
y'' = m (m-1) x^m-2
Simplificando os termos:
y''' = m (m-1) (m-2) x^m-3

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
m (m-1) (m-2) - 3 m (m-1) + 6 m - 6 = 0
Expandindo os termos:
m^3 - 3m^2 + 2m - 3m^2 + 3m + 6m - 6 = 0
Combinando os termos semelhantes:
m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação cúbica $ m^{3} - 6m^{2} + 11m - 6 = 0 $. Tentamos valores inteiros que podem ser raízes, como $ m = 1 $:
m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0
Então, $ m = 1 $ é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio:
m = 1
Resolvendo a equação quadrática:
1 - 6 + 11 - 6 = 0
Então, as raízes são $ m = 1 $, $ m = 2 $ e $ m = 3 $.

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^1 + C2 x^2 + C3 x^3
onde $ C_{1} $, $ C_{2} $ e $ C_{3} $ são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_{p} $) para a equação completa:
yp
Como o termo do lado direito é $ x^{-4} $, vamos supor uma solução particular da forma:
y''' - 3x y'' + 6x^2 y' - 6x^3 y = x^-4
Vamos determinar o valor de $ k $ que não coincide com as raízes da equação característica.

Passo 8

Substituindo $ y_{p} = A x^{k} $ na equação homogênea, obtemos:
yp = A x^k
Simplificando:
A k (k-1)(k-2) x^k-3 - 3 A k (k-1) x^k-3 + 6 A k x^k-3 - 6 A x^k-3 = x^-4
Para que as potências de $ x $ coincidam:
A [k (k-1)(k-2) - 3k(k-1) + 6k - 6] x^k-3 = x^-4

Passo 9

Substituindo $ k = -1 $ na equação:
k = -1
Calculando:
A [(-1)(-2)(-3) - 3(-1)(-2) + 6(-1) - 6] x^-4 = x^-4
A [(-6) - 6 - 6 - 6] x^-4 = x^-4
Então:
A [-24] x^-4 = x^-4

Passo 10

Portanto, a solução particular é:
yp = -124 x^-1

Resposta

A solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
y = C1 x + C2 x^2 + C3 x^3 - 124 x^-1
onde $ C_{1} $, $ C_{2} $ e $ C_{3} $ são constantes arbitrárias.

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