Encontre uma solução geral para a equação de Cauchy-Euler
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de Cauchy-Euler:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas específicas para equações de Cauchy-Euler, que envolvem substituições e resolução de equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples dividindo todos os termos por $ x^{3} $:
Isso facilita a identificação dos coeficientes e a aplicação da técnica adequada.
Passo 3
Em equações de Cauchy-Euler, fazemos a substituição $ y = x^{m} $. Vamos encontrar a equação característica substituindo $ y = x^{m} $ na equação homogênea associada:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Expandindo os termos:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 5
Vamos resolver a equação cúbica $ m^{3} - 6m^{2} + 11m - 6 = 0 $. Tentamos valores inteiros que podem ser raízes, como $ m = 1 $:
Então, $ m = 1 $ é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são $ m = 1 $, $ m = 2 $ e $ m = 3 $.
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_{1} $, $ C_{2} $ e $ C_{3} $ são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_{p} $) para a equação completa:
Como o termo do lado direito é $ x^{-4} $, vamos supor uma solução particular da forma:
Vamos determinar o valor de $ k $ que não coincide com as raízes da equação característica.
Passo 8
Substituindo $ y_{p} = A x^{k} $ na equação homogênea, obtemos:
Simplificando:
Para que as potências de $ x $ coincidam:
Passo 9
Substituindo $ k = -1 $ na equação:
Calculando:
Então:
Passo 10
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
onde $ C_{1} $, $ C_{2} $ e $ C_{3} $ são constantes arbitrárias.