Determine explicitamente:
em termos de
.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente para determinar
em termos de
.
Informações fornecidas no enunciado: apenas o pedido "determinar em termos de
".
O que falta (informações relevantes que o enunciado não deu): uma definição da sequência — por exemplo, se é uma progressão aritmética, progressão geométrica, ou uma sequência definida por uma recorrência (e qual recorrência), ou valores adicionais como
, razão
, diferença
, constantes da recorrência etc.
Informações fornecidas no enunciado: apenas o pedido "determinar
O que falta (informações relevantes que o enunciado não deu): uma definição da sequência
Passo 2
Por que essa falta de informação impede uma resposta única? Vou explicar com um pouco de teoria e exemplos concretos (sem pular etapas).
- Uma sequência é simplesmente uma lista ordenada de números
. Para saber a partir de é preciso uma regra que ligue termos diferentes. Sem essa regra, muitos arranjos possíveis existem. - Exemplo 1 (progressão aritmética): se a sequência for uma progressão aritmética com diferença comum
, a fórmula geral é
Substituindo
obtemos
Aqui
depende de
e de
. Sem conhecer
não é possível obter
apenas com
.
- Exemplo 2 (progressão geométrica): se for uma progressão geométrica com razão
, a fórmula geral é
Substituindo
obtemos
Novamente,
depende de
além de
.
- Exemplo 3 (recorrência linear de primeira ordem): se a sequência satisfaz
(caso especial da geométrica), então
Aqui o parâmetro
é necessário além de
.
Passo 3
Mostro com dois números concretos que não existe uma resposta única: escolha
.
- Se for progressão aritmética com
, então . - Se for progressão geométrica com
, então .
Ambas as sequências têm o mesmomas dão diferentes ( e ). Portanto não há unicidade: somente com não se determina .
Passo 4
Que informação mínima tornaria
determinável? Algumas possibilidades e as fórmulas correspondentes:
- Se for dada a diferença
de uma progressão aritmética, então . - Se for dada a razão
de uma progressão geométrica, então . - Se for dada uma recorrência de primeira ordem
(por exemplo linear ), então basta aplicar a recorrência duas vezes para expressar em termos de : por exemplo, se , então
- Se a recorrência for de ordem maior (por exemplo
), será necessário conhecer também para obter .
Passo 5
Resumo didático e prático (como agir na prova): ao ver um enunciado que pede expressar um termo futuro em função de um anterior, verifique imediatamente qual é a regra da sequência (tipo: PA, PG, recorrência, ou se fornecem termos adicionais). Sem essa regra ou termos extras, NÃO é possível dar uma expressão única. Se na prova estiver faltando essa informação, escreva que é necessário especificar a natureza da sequência (ex.: razão
, diferença
, ou a própria recorrência) e então aplique a fórmula correspondente mostrada acima.
Resposta
Não é possível determinar
apenas a partir de
; é necessária informação adicional (por exemplo a diferença
de uma PA, a razão
de uma PG, ou a forma da recorrência) para obter
em função de
.