Determine explicitamente:
a_{3}
em termos de a_{1}.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente para determinar a_{3} em termos de a_{1}.
Informações fornecidas no enunciado: apenas o pedido "determinar a_{3} em termos de a_{1}".
O que falta (informações relevantes que o enunciado não deu): uma definição da sequência (a_n) — por exemplo, se é uma progressão aritmética, progressão geométrica, ou uma sequência definida por uma recorrência (e qual recorrência), ou valores adicionais como a_{2}, razão r, diferença d, constantes da recorrência etc.

Passo 2

Por que essa falta de informação impede uma resposta única? Vou explicar com um pouco de teoria e exemplos concretos (sem pular etapas).
  • Uma sequência é simplesmente uma lista ordenada de números (a_1,a_2,a_3,\dots). Para saber a_3 a partir de a_1 é preciso uma regra que ligue termos diferentes. Sem essa regra, muitos arranjos possíveis existem.
  • Exemplo 1 (progressão aritmética): se a sequência for uma progressão aritmética com diferença comum d, a fórmula geral é
a_n = a_1 + (n-1)d.
Substituindo n=3 obtemos
a_3 = a_1 + 2d.
Aqui a_3 depende de a_1 e de d. Sem conhecer d não é possível obter a_3 apenas com a_1.
  • Exemplo 2 (progressão geométrica): se for uma progressão geométrica com razão r, a fórmula geral é
a_n = a_1 r^{\,n-1}.
Substituindo n=3 obtemos
a_3 = a_1 r^{2}.
Novamente, a_3 depende de r além de a_1.
  • Exemplo 3 (recorrência linear de primeira ordem): se a sequência satisfaz a_{n+1}=c\,a_n (caso especial da geométrica), então
a_3 = c^{2} a_1.
Aqui o parâmetro c é necessário além de a_1.

Passo 3

Mostro com dois números concretos que não existe uma resposta única: escolha a_1=1.
  • Se for progressão aritmética com d=1, então a_3 = a_1 + 2d = 1 + 2\cdot1 = 3.
  • Se for progressão geométrica com r=2, então a_3 = a_1 r^{2} = 1\cdot 2^{2} = 4.
    Ambas as sequências têm o mesmo a_1=1 mas dão a_3 diferentes ( 3 e 4). Portanto não há unicidade: somente com a_1 não se determina a_3.

Passo 4

Que informação mínima tornaria a_3 determinável? Algumas possibilidades e as fórmulas correspondentes:
  • Se for dada a diferença d de uma progressão aritmética, então a_3 = a_1 + 2d.
  • Se for dada a razão r de uma progressão geométrica, então a_3 = a_1 r^{2}.
  • Se for dada uma recorrência de primeira ordem a_{n+1}=f(a_n) (por exemplo linear a_{n+1}=c a_n+b), então basta aplicar a recorrência duas vezes para expressar a_3 em termos de a_1: por exemplo, se a_{n+1}=c a_n + b, então
a_2 = c a_1 + b,\qquad a_3 = c a_2 + b = c(c a_1 + b)+b = c^{2}a_1 + c b + b.
  • Se a recorrência for de ordem maior (por exemplo a_{n+2}=p a_{n+1}+q a_n), será necessário conhecer também a_2 para obter a_3.

Passo 5

Resumo didático e prático (como agir na prova): ao ver um enunciado que pede expressar um termo futuro em função de um anterior, verifique imediatamente qual é a regra da sequência (tipo: PA, PG, recorrência, ou se fornecem termos adicionais). Sem essa regra ou termos extras, NÃO é possível dar uma expressão única. Se na prova estiver faltando essa informação, escreva que é necessário especificar a natureza da sequência (ex.: razão r, diferença d, ou a própria recorrência) e então aplique a fórmula correspondente mostrada acima.

Resposta

Não é possível determinar a_{3} apenas a partir de a_{1}; é necessária informação adicional (por exemplo a diferença d de uma PA, a razão r de uma PG, ou a forma da recorrência) para obter a_{3} em função de a_{1}.

Exercícios relacionados