( 2,0 ponto)Uma empresa lançou uma campanha publicitária em uma cidade e quer monitorar o número de pessoas que ficaram sabendo sobre a campanha ao longo do tempo. A função que descreve o número N de pessoas que tomaram conhecimento da campanha t horas após seu lançamento é dada por:
N=30.4^{t}
Sabendo que a empresa deseja atingir 2160 pessoas, após quantas horas, aproximadamente, essa meta será alcançada? Utilize \log 2=0,30 e \log 3=0,48, se necessário.

Passo 1

O enunciado dá a função que descreve o número de pessoas que ficaram sabendo da campanha: N = 30\cdot 4^{t}, onde t é o tempo em horas após o lançamento. A empresa quer saber após quantas horas a meta de 2160 pessoas será alcançada.
Informações relevantes:
  • Fórmula: N = 30\cdot 4^{t}.
  • Meta: N=2160.
  • Valores de log fornecidos (base 10): \log 2 = 0,30 e \log 3 = 0,48.
    A pergunta é: encontrar t tal que 30\cdot 4^{t}=2160.

Passo 2

Isolar a potência para deixar só 4^{t}. Partindo de
30\cdot 4^{t}=2160,
divido ambos os lados por 30:
4^{t}=\frac{2160}{30}.
Calculo a divisão inteira:
\frac{2160}{30}=72,
logo temos
4^{t}=72.

Passo 3

Para resolver 4^{t}=72 usamos logaritmos: se a^{t}=b então t=\dfrac{\log b}{\log a}. Aplicando aqui:
t=\frac{\log 72}{\log 4}.
Explico rapidamente o porquê: o logaritmo transforma potências em produtos, pois \log(a^{t})=t\log a; isolando t obtemos a fórmula acima.

Passo 4

Calcular \log 72 usando propriedades dos logaritmos e os valores dados. Primeiro fatoro 72:
72 = 2^{3}\cdot 3^{2}.
Pelo produto e potência dos logaritmos:
\log 72 = \log(2^{3}\cdot 3^{2}) = 3\log 2 + 2\log 3.
Substituo os valores fornecidos:
\log 72 = 3\cdot 0,30 + 2\cdot 0,48.

Passo 5

Faço as contas:
3\cdot 0,30 = 0,90, \qquad 2\cdot 0,48 = 0,96,
portanto
\log 72 = 0,90 + 0,96 = 1,86.

Passo 6

Calcular \log 4. Como 4=2^{2}, vale
\log 4 = \log(2^{2}) = 2\log 2 = 2\cdot 0,30 = 0,60.

Passo 7

Agora substituo em t=\dfrac{\log 72}{\log 4}:
t=\frac{1,86}{0,60}.
Faço a divisão:
\frac{1,86}{0,60}=\frac{186}{60}=\frac{31}{10}=3,1.

Passo 8

Interpretação final: o valor de t é aproximadamente 3,1 horas. Ou seja, pouco mais de 3 horas após o lançamento a meta de 2160 pessoas será alcançada.

Resposta

t\approx 3,1\\ \text{horas}

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