Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=5^{x} \cdot x^{5}+5 \cdot e^{x}-\sqrt{5}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a expressão da derivada da função
y=5^{x}\cdot x^{5}+5\cdot e^{x}-\sqrt{5}.
Informações dadas e componentes importantes da função:
  • A função é soma de três termos: \;5^{x}\cdot x^{5}, \;5\cdot e^{x} e -\sqrt{5}.
  • Aqui x é a variável independente; os números 5 e \sqrt{5} são constantes.
  • O objetivo é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}, a derivada em função de x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas com calma):
  1. Regra da derivada de uma potência polinomial (regra do poder):
\text{Se } u(x)=x^{n}\text{ com }n\in\mathbb{R},\quad u'(x)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é um número fixo. Exemplo: (x^{5})' = 5x^{4}.
  1. Derivada da função exponencial com base a>0:
\text{Se } u(x)=a^{x}\text{ com }a>0,\quad u'(x)=a^{x}\ln a.
Explicação: \ln a é a constante logarítmica que aparece por causa da transformação a^{x}=e^{x\ln a}. Exemplo: (5^{x})' = 5^{x}\ln 5.
  1. Derivada da exponencial natural:
\text{Se } u(x)=e^{x},\quad u'(x)=e^{x}.
Aqui e é a base dos logaritmos naturais.
  1. Regra do produto:
\text{Se } y(x)=f(x)\cdot g(x),\quad y'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Ou seja, derivamos uma das funções mantendo a outra e somamos o termo com a outra derivada.
  1. Regra da constante multiplicativa e de constantes:
\text{Se } y(x)=c\cdot u(x)\text{ com constante }c,\quad y'(x)=c\cdot u'(x).
\text{Se } y(x)=C\text{ com }C\text{ constante},\quad y'(x)=0.
Vou aplicar todas essas regras passo a passo ao nosso problema.

Passo 3

Derivando o primeiro termo \;5^{x}\cdot x^{5} usando a regra do produto.
Defina
f(x)=5^{x}\quad\text{e}\quad g(x)=x^{5}.
-calculamos f'(x): pela regra da exponencial com base a,
f'(x)=(5^{x})' = 5^{x}\ln 5.
-calculamos g'(x): pela regra do poder,
g'(x)=(x^{5})' = 5x^{4}.
-agora aplicamos a regra do produto:
\big(5^{x}\cdot x^{5}\big)' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Substituindo f,f',g,g':
\big(5^{x}\cdot x^{5}\big)' = \big(5^{x}\ln 5\big)\cdot x^{5} + 5^{x}\cdot \big(5x^{4}\big).
Organizando os termos (fator comum 5^{x}x^{4}):
\big(5^{x}\cdot x^{5}\big)' = 5^{x}x^{4}\big(x\ln 5 + 5\big).
Comentário rápido: fatorar ajuda a deixar a expressão mais compacta e útil na hora da prova.

Passo 4

Derivando os outros termos:
  • Para 5\cdot e^{x}: uso regra da constante multiplicativa e derivada de e^{x}:
\big(5\cdot e^{x}\big)' = 5\cdot (e^{x})' = 5\cdot e^{x}.
  • Para -\sqrt{5}: é uma constante (não depende de x), logo
\big(-\sqrt{5}\big)' = 0.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (derivada da soma é soma das derivadas):
y'=\big(5^{x}\cdot x^{5}\big)'+\big(5\cdot e^{x}\big)'+\big(-\sqrt{5}\big)'.
Substituindo os resultados obtidos:
y' = 5^{x}x^{4}\big(x\ln 5 + 5\big) + 5e^{x} + 0.
Portanto podemos escrever a resposta final de forma simplificada como
y' = 5^{x}x^{4}\big(x\ln 5 + 5\big) + 5e^{x}.
Se quiser, outra forma equivalente (não fatorada) é
y' = 5^{x}x^{5}\ln 5 + 5^{x}\cdot 5x^{4} + 5e^{x}.
Mas a forma fatorada é mais elegante e comum em provas.

Resposta

y' = 5^{x}x^{4}\big(x\ln 5 + 5\big) + 5e^{x}

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