Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a expressão da derivada da função
Informações dadas e componentes importantes da função:
- A função é soma de três termos:
, e . - Aqui
é a variável independente; os números e são constantes. - O objetivo é encontrar
, a derivada em função de .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra da derivada de uma potência polinomial (regra do poder):
Aqui
é a variável e
é um número fixo. Exemplo:
.
- Derivada da função exponencial com base
:
Explicação:
é a constante logarítmica que aparece por causa da transformação
. Exemplo:
.
- Derivada da exponencial natural:
Aqui
é a base dos logaritmos naturais.
- Regra do produto:
Ou seja, derivamos uma das funções mantendo a outra e somamos o termo com a outra derivada.
- Regra da constante multiplicativa e de constantes:
Vou aplicar todas essas regras passo a passo ao nosso problema.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
usando a regra do produto.
Defina
Defina
-calculamos
: pela regra da exponencial com base
,
-calculamos
: pela regra do poder,
-agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
:
Organizando os termos (fator comum
):
Comentário rápido: fatorar ajuda a deixar a expressão mais compacta e útil na hora da prova.
Passo 4
Derivando os outros termos:
- Para
: uso regra da constante multiplicativa e derivada de :
- Para
: é uma constante (não depende de ), logo
Passo 5
Somando as derivadas dos termos (derivada da soma é soma das derivadas):
Substituindo os resultados obtidos:
Portanto podemos escrever a resposta final de forma simplificada como
Se quiser, outra forma equivalente (não fatorada) é
Mas a forma fatorada é mais elegante e comum em provas.