- Uma tigela tem a forma de hemisfério com diâmetro de 30 cm . Uma bola com diâmetro de 10 cm é colocada dentro da tigela e depois despeja-se água no recipiente até a altura
. Encontre o volume de água na tigela:
a) supondo que a bola se mantém no fundo da tigela;
b) após despejar o líquido, a esfera está a 2 cm do fundo da tigela.
a) supondo que a bola se mantém no fundo da tigela;
b) após despejar o líquido, a esfera está a 2 cm do fundo da tigela.
Passo 1
O enunciado descreve uma tigela hemisférica e uma esfera colocada dentro dela; pede o volume de água que fica na tigela quando a água atinge uma altura
medida a partir do fundo, em duas situações distintas. Dados fornecidos e o que o problema pede:
- Diâmetro da tigela:
cm, portanto o raio da hemisfera é cm. - Diâmetro da esfera (bola):
cm, portanto o raio da esfera é cm. - A altura do líquido na tigela é
, medida a partir do fundo da tigela (logo , pois a profundidade da hemisfera é cm). - Situação (a): a bola permanece encostada no fundo da tigela (o centro da esfera está a
cm do fundo, isto é, ). - Situação (b): após despejar o líquido, a esfera está a
cm do fundo da tigela (o centro da esfera está a cm do fundo, isto é, ).
O objetivo em cada caso é obter uma expressão do volume de água presente na tigela em função de
. Vou usar coordenadas verticais com
no fundo da tigela, positivas para cima.
Passo 2
Estratégia geral (sem ainda calcular): medir o volume de água como o volume do interior da hemisfera desde
até
menos o volume da parte da esfera (bola) que esteja abaixo do plano
(ou seja, a parte da bola submersa). Ou seja,
Portanto precisamos de duas ferramentas:
- fórmula para o volume de uma “cap” (tampa) esférica, ou seja, volume de uma porção de esfera limitada por um plano; essa mesma fórmula dá o volume da parte da esfera situada entre um polo e um plano a uma certa altura.
- aplicar essa fórmula tanto para a hemisfera grande (raio
) quanto para a esfera pequena (raio ), com os parâmetros de altura corretos.
Vou agora ensinar e deduzir a fórmula do volume da cap esférica de modo claro.
Passo 3
Aula rápida: fórmula do volume da cap esférica (derivação por integração). Considere uma esfera de raio
centrada no eixo vertical; a equação é
. Corte por um plano horizontal situado a uma distância
do centro (ou seja, a cap tem altura
medida a partir do polo superior até o plano). A área de uma seção reta a uma altura
(paralela ao plano) é
. Integrando do topo
até
obtemos o volume da cap:
Faço a integral:
Após simplificar (fazer as operações algébricas) chega-se à forma padrão:
Explicação das variáveis:
é o raio da esfera inteira;
é a altura da cap, isto é, a distância do plano até o polo (medida ao longo do eixo). Essa fórmula vale para
. Guarde essa fórmula: é a peça-chave.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema para o volume do líquido na hemisfera: a hemisfera é parte de uma esfera de raio
cujo pólo inferior está em
. O volume da porção da hemisfera desde
até
é exatamente a cap (medida a partir do polo inferior) de altura
numa esfera de raio
. Usando a fórmula com
e
:
válido para
. (Isto dá o volume dentro da tigela abaixo de
, sem considerar a esfera.)
Passo 5
Agora a parte da esfera pequena que está abaixo do nível
. A esfera pequena tem raio
e seu pólo inferior (ponto mais baixo) está na altura
, onde
é a altura do centro da esfera. A altura submersa medida a partir do pólo inferior da esfera é
Em palavras: se
então nada da esfera está submerso (
); se
então a cap submersa tem altura
; se
então a esfera inteira está submersa (
). Usando a fórmula da cap com
e cap height
obtemos o volume submerso da esfera:
com
. Se a esfera estiver totalmente submersa usamos
.
Passo 6
Reescrevendo a fórmula geral do volume de água:
onde
depende de
e da posição da esfera (
) por
. Agora aplicamos isso aos dois casos concretos.
Passo 7
Caso (a): a bola está no fundo da tigela. Então o centro da esfera fica em
, logo o pólo inferior da esfera está em
. Assim
. Há duas subfaixas:
- Para
temos . Então
Fatorando
:
Portanto, para
,
- Para
a esfera fica totalmente submersa ( ) e o volume submerso da esfera é o volume total da esfera . Logo
(Essa expressão também vale em
; substituindo
nas duas fórmulas dá
, então as duas partes se juntam continuamente.)
Passo 8
Caso (b): a esfera está a
cm do fundo da tigela; logo o centro está em
. Assim o pólo inferior da esfera fica em
. A altura submersa
vale
. Temos três subfaixas naturais:
- Para
: , portanto (a bola não está tocando a água). Assim
- Para
: parte da esfera está submersa e (pois ). Então
Simplificando o parêntese interno
, obtemos
- Para
: como , a esfera está totalmente submersa e novamente subtraímos . Assim
Passo 9
Resumo final das expressões (cada faixa é a expressão válida naquele intervalo de
). Essas são as respostas pedidas nos itens (a) e (b).
Resposta
(a) Para a bola encostada no fundo (
):
(b) Para a bola a
cm do fundo (
):