1. Uma tigela tem a forma de hemisfério com diâmetro de 30 cm . Uma bola com diâmetro de 10 cm é colocada dentro da tigela e depois despeja-se água no recipiente até a altura h. Encontre o volume de água na tigela:
    a) supondo que a bola se mantém no fundo da tigela;
    b) após despejar o líquido, a esfera está a 2 cm do fundo da tigela.

Passo 1

O enunciado descreve uma tigela hemisférica e uma esfera colocada dentro dela; pede o volume de água que fica na tigela quando a água atinge uma altura h medida a partir do fundo, em duas situações distintas. Dados fornecidos e o que o problema pede:
  • Diâmetro da tigela: 30 cm, portanto o raio da hemisfera é R=15 cm.
  • Diâmetro da esfera (bola): 10 cm, portanto o raio da esfera é r=5 cm.
  • A altura do líquido na tigela é h, medida a partir do fundo da tigela (logo 0\le h\le 15, pois a profundidade da hemisfera é 15 cm).
  • Situação (a): a bola permanece encostada no fundo da tigela (o centro da esfera está a 5 cm do fundo, isto é, z_c=5).
  • Situação (b): após despejar o líquido, a esfera está a 2 cm do fundo da tigela (o centro da esfera está a 7 cm do fundo, isto é, z_c=7).
O objetivo em cada caso é obter uma expressão do volume de água presente na tigela em função de h. Vou usar coordenadas verticais com z=0 no fundo da tigela, positivas para cima.

Passo 2

Estratégia geral (sem ainda calcular): medir o volume de água como o volume do interior da hemisfera desde z=0 até z=h menos o volume da parte da esfera (bola) que esteja abaixo do plano z=h (ou seja, a parte da bola submersa). Ou seja,
V_{\text{água}}(h)=V_{\text{hemisfera até }h}-V_{\text{parte da esfera abaixo de }h}.áé
Portanto precisamos de duas ferramentas:
  1. fórmula para o volume de uma “cap” (tampa) esférica, ou seja, volume de uma porção de esfera limitada por um plano; essa mesma fórmula dá o volume da parte da esfera situada entre um polo e um plano a uma certa altura.
  2. aplicar essa fórmula tanto para a hemisfera grande (raio R=15) quanto para a esfera pequena (raio r=5), com os parâmetros de altura corretos.
Vou agora ensinar e deduzir a fórmula do volume da cap esférica de modo claro.

Passo 3

Aula rápida: fórmula do volume da cap esférica (derivação por integração). Considere uma esfera de raio A centrada no eixo vertical; a equação é x^2+y^2+z^2=A^2. Corte por um plano horizontal situado a uma distância A-t do centro (ou seja, a cap tem altura t medida a partir do polo superior até o plano). A área de uma seção reta a uma altura z (paralela ao plano) é \pi (A^2-z^2). Integrando do topo z=A-t até z=A obtemos o volume da cap:
V_{\text{cap}}(t)=\int_{z=A-t}^{A} \pi (A^2-z^2)\,dz.
Faço a integral:
V_{\text{cap}}(t)=\pi\left[ A^2 z - \frac{z^3}{3} \right]_{z=A-t}^{z=A} =\pi\left( A^3-\frac{A^3}{3} -\bigl(A^2(A-t)-\frac{(A-t)^3}{3}\bigr)\right).
Após simplificar (fazer as operações algébricas) chega-se à forma padrão:
V_{\text{cap}}(t)=\frac{\pi t^2(3A-t)}{3}.
Explicação das variáveis: A é o raio da esfera inteira; t é a altura da cap, isto é, a distância do plano até o polo (medida ao longo do eixo). Essa fórmula vale para 0\le t\le 2A. Guarde essa fórmula: é a peça-chave.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema para o volume do líquido na hemisfera: a hemisfera é parte de uma esfera de raio R=15 cujo pólo inferior está em z=0. O volume da porção da hemisfera desde z=0 até z=h é exatamente a cap (medida a partir do polo inferior) de altura t_{\text{grande}}=h numa esfera de raio R. Usando a fórmula com A=R=15 e t=h:
V_{\text{hemisfera até }h}=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}=\frac{\pi h^2(45-h)}{3},é
válido para 0\le h\le 15. (Isto dá o volume dentro da tigela abaixo de z=h, sem considerar a esfera.)

Passo 5

Agora a parte da esfera pequena que está abaixo do nível z=h. A esfera pequena tem raio r=5 e seu pólo inferior (ponto mais baixo) está na altura z_{\text{bottom}}=z_c-r, onde z_c é a altura do centro da esfera. A altura submersa medida a partir do pólo inferior da esfera é
s=\text{altura submersa da esfera}=\max\bigl(0,\min(2r,\;h-z_{\text{bottom}})\bigr).
Em palavras: se h\le z_{\text{bottom}} então nada da esfera está submerso ( s=0); se z_{\text{bottom}}<h<z_{\text{bottom}}+2r então a cap submersa tem altura s=h-z_{\text{bottom}}; se h\ge z_{\text{bottom}}+2r então a esfera inteira está submersa ( s=2r). Usando a fórmula da cap com A=r=5 e cap height s obtemos o volume submerso da esfera:
V_{\text{esfera submersa}}(s)=\frac{\pi s^2(3r-s)}{3}=\frac{\pi s^2(15-s)}{3},
com 0\le s\le 10. Se a esfera estiver totalmente submersa usamos V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{500\pi}{3}.

Passo 6

Reescrevendo a fórmula geral do volume de água:
V_{\text{água}}(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}-\frac{\pi s^2(15-s)}{3},á
onde s depende de h e da posição da esfera ( z_c) por s=\max(0,\min(10,h-(z_c-5))). Agora aplicamos isso aos dois casos concretos.

Passo 7

Caso (a): a bola está no fundo da tigela. Então o centro da esfera fica em z_c=5, logo o pólo inferior da esfera está em z_{\text{bottom}}=z_c-r=5-5=0. Assim s=\min(10,h-0)=\min(10,h). Há duas subfaixas:
  • Para 0\le h\le 10 temos s=h. Então
V_{\text{água}}(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}-\frac{\pi h^2(15-h)}{3}.á
Fatorando \frac{\pi h^2}{3}:
V_{\text{água}}(h)=\frac{\pi h^2}{3}\bigl((45-h)-(15-h)\bigr) =\frac{\pi h^2}{3}\cdot 30 =10\pi h^2.á
Portanto, para 0\le h\le 10,
V_{\text{água}}(h)=10\pi h^2.á
  • Para 10\le h\le 15 a esfera fica totalmente submersa ( s=10) e o volume submerso da esfera é o volume total da esfera \dfrac{500\pi}{3}. Logo
V_{\text{água}}(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}-\frac{500\pi}{3}.á
(Essa expressão também vale em h=10; substituindo h=10 nas duas fórmulas dá 1000\pi, então as duas partes se juntam continuamente.)

Passo 8

Caso (b): a esfera está a 2 cm do fundo da tigela; logo o centro está em z_c=7. Assim o pólo inferior da esfera fica em z_{\text{bottom}}=z_c-r=7-5=2. A altura submersa s vale s=\max(0,\min(10,h-2)). Temos três subfaixas naturais:
  • Para 0\le h\le 2: h\le z_{\text{bottom}}, portanto s=0 (a bola não está tocando a água). Assim
V_{\text{água}}(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}.á
  • Para 2\le h\le 12: parte da esfera está submersa e s=h-2 (pois 0<s<10). Então
V_{\text{água}}(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}-\frac{\pi (h-2)^2\bigl(15-(h-2)\bigr)}{3}.á
Simplificando o parêntese interno 15-(h-2)=17-h, obtemos
V_{\text{água}}(h)=\frac{\pi}{3}\Bigl(h^2(45-h)-(h-2)^2(17-h)\Bigr).á
  • Para 12\le h\le 15: como h-2\ge 10, a esfera está totalmente submersa e novamente subtraímos \dfrac{500\pi}{3}. Assim
V_{\text{água}}(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}-\frac{500\pi}{3}.á

Passo 9

Resumo final das expressões (cada faixa é a expressão válida naquele intervalo de h). Essas são as respostas pedidas nos itens (a) e (b).

Resposta

(a) Para a bola encostada no fundo ( z_c=5):
\displaystyle 0\le h\le 10:\;V(h)=10\pi h^2.
\displaystyle 10\le h\le 15:\;V(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}-\frac{500\pi}{3}.
(b) Para a bola a 2 cm do fundo ( z_c=7):
\displaystyle 0\le h\le 2:\;V(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}.
\displaystyle 2\le h\le 12:\;V(h)=\frac{\pi}{3}\Bigl(h^2(45-h)-(h-2)^2(17-h)\Bigr).
\displaystyle 12\le h\le 15:\;V(h)=\frac{\pi h^2(45-h)}{3}-\frac{500\pi}{3}.

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