Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=2 e^{x^{2}-3 x+4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=2e^{x^{2}-3x+4}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Há um fator constante 2 multiplicando a função exponencial.
  • A função exponencial é e^{u(x)} com u(x)=x^{2}-3x+4.
    A tarefa é calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da cadeia para exponencial: a derivada de \;e^{u(x)}\; em relação a x é
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Isto significa que multiplicamos a própria exponencial pela derivada do expoente.
  • Constante multiplicativa: se y=c\cdot f(x) com c constante, então
y' = c\cdot f'(x).
Ou seja, podemos “puxar” a constante para fora da derivada.

Passo 3

Vamos derivar o expoente u(x)=x^{2}-3x+4 usando regras básicas:
  • Derivada de x^{2} é 2x (regra do poder d(x^{n})/dx = n x^{n-1}).
  • Derivada de -3x é -3 (constante multiplicando x).
  • Derivada de 4 é 0 (constante).
    Portanto
u'(x)=2x-3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à função e^{u(x)} e a regra da constante multiplicativa, temos:
y' = 2\cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr) = 2\cdot e^{u(x)}\cdot u'(x).

Passo 5

Substituindo u(x)=x^{2}-3x+4 e u'(x)=2x-3 na expressão acima:
y' = 2\cdot e^{x^{2}-3x+4}\cdot(2x-3).
Podemos multiplicar o 2 interno para simplificar:
y' = (4x-6)\,e^{x^{2}-3x+4}.

Resposta

y'=(4x-6)e^{x^{2}-3x+4}

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