Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\frac{2^{3 x}}{3} \Rightarrow y^{\prime \prime}= ?

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{2^{3x}}{3}
e pede a segunda derivada y''.
Informações relevantes: a função é um produto de uma constante \frac{1}{3} pela função exponencial de base 2 com expoente 3x. Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Vou listar as regras de derivação que vamos usar e explicar cada uma com calma.
Regra 1 — constante em fator: se y=c\cdot f(x) com c constante, então
y' = c\cdot f'(x).
Isto significa que uma constante pode sair da operação de derivada.
Regra 2 — derivada de potência exponencial de base fixa: se temos f(x)=a^{u(x)} com a>0 constante e u(x) função diferenciável, então
f'(x)=a^{u(x)}\cdot \ln(a)\cdot u'(x).
Explicando: derivar uma exponencial de base a equivale a manter a própria exponencial e multiplicar por \ln(a) (isso vem da relação com a exponencial natural) e ainda multiplicar pela derivada do expoente u'(x) por causa da regra da cadeia.
Regra 3 — regra da cadeia (breve explicação): se você tem uma composição h(x)=g(u(x)), a derivada é
h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso, g(t)=a^t e u(x)=3x.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro calculamos a primeira derivada y'.
Temos
y=\frac{1}{3}\cdot 2^{3x}.
Pela Regra 1 (constante em fator),
y'=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(2^{3x}\bigr).
Agora aplicamos a Regra 2 com a=2 e u(x)=3x. Então
\frac{d}{dx}\bigl(2^{3x}\bigr)=2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot\frac{d}{dx}(3x).
A derivada de 3x é 3. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(2^{3x}\bigr)=2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot 3.
Voltando para y',
y'=\frac{1}{3}\cdot\bigl(2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot 3\bigr).
Podemos simplificar o \frac{1}{3}\cdot 3:
y'=\ln(2)\cdot 2^{3x}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada y'', ou seja, derivamos y'.
Partimos de
y'=\ln(2)\cdot 2^{3x}.
Aqui \ln(2) é constante, então pela Regra 1:
y''=\ln(2)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(2^{3x}\bigr).
Já sabemos (ver Passo 3) que
\frac{d}{dx}\bigl(2^{3x}\bigr)=2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot 3.
Substituindo,
y''=\ln(2)\cdot\bigl(2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot 3\bigr).
Reagrupando os fatores:
y''=3\bigl(\ln(2)\bigr)^2\cdot 2^{3x}.

Resposta

y''=3\bigl(\ln(2)\bigr)^2 2^{3x}

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