Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a segunda derivada
.
Informações relevantes: a função é um produto de uma constante pela função exponencial de base
com expoente
. Não há outras informações ocultas.
Informações relevantes: a função é um produto de uma constante
Passo 2
Vou listar as regras de derivação que vamos usar e explicar cada uma com calma.
Regra 1 — constante em fator: se
com
constante, então
Isto significa que uma constante pode sair da operação de derivada.
Regra 2 — derivada de potência exponencial de base fixa: se temos
com
constante e
função diferenciável, então
Explicando: derivar uma exponencial de base
equivale a manter a própria exponencial e multiplicar por
(isso vem da relação com a exponencial natural) e ainda multiplicar pela derivada do expoente
por causa da regra da cadeia.
Regra 3 — regra da cadeia (breve explicação): se você tem uma composição
, a derivada é
No nosso caso,
e
.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Primeiro calculamos a primeira derivada
.
Temos
Pela Regra 1 (constante em fator),
Agora aplicamos a Regra 2 com
e
. Então
A derivada de
é
. Assim
Voltando para
,
Podemos simplificar o
:
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada
, ou seja, derivamos
.
Partimos de
Aqui
é constante, então pela Regra 1:
Já sabemos (ver Passo 3) que
Substituindo,
Reagrupando os fatores: