Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas e o que queremos:
- A função é o produto de três fatores:
, e . - A pergunta é: achar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos usar a regra do produto estendida para três funções. Se
,
,
são diferenciáveis, então
Explicando: derivamos cada fator uma vez mantendo os outros dois sem derivar, e somamos os três resultados. É a aplicação natural da regra do produto repetida.
Passo 3
Calculamos as derivadas individuais dos fatores (essa parte é chave — memorize estes resultados):
- Para
: a regra para exponencial com base é . Portanto Explicação curta: a derivada de envolve porque e usamos a cadeia. - Para
: a regra do poder diz . Portanto - Para
: a derivada da função arco-tangente é Em palavras: .
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do produto com os
que achamos:
Passo 5
Substituindo os valores encontrados:
Agora fazemos uma simplificação fatorando os fatores comuns
para deixar a expressão mais enxuta:
Se quiser agrupar ainda mais os termos com
, podemos escrever
Pronto — essa é a derivada organizada de forma útil para avaliação ou análise.