Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=3^{x} \cdot x^{3} \cdot \operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y = 3^{x}\cdot x^{3}\cdot \operatorname{arctg} x.
Informações dadas e o que queremos:
  • A função é o produto de três fatores: u(x)=3^{x}, v(x)=x^{3} e w(x)=\operatorname{arctg} x.
  • A pergunta é: achar y'=\dfrac{dy}{dx}, a derivada de y em função de x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto estendida para três funções. Se u(x), v(x), w(x) são diferenciáveis, então
( u v w )' = u' v w + u v' w + u v w'.
Explicando: derivamos cada fator uma vez mantendo os outros dois sem derivar, e somamos os três resultados. É a aplicação natural da regra do produto repetida.

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais dos fatores (essa parte é chave — memorize estes resultados):
  • Para u(x)=3^{x}: a regra para exponencial com base a>0 é \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a. Portanto u'(x)=3^{x}\ln 3.Explicação curta: a derivada de a^x envolve \ln a porque a^x=e^{x\ln a} e usamos a cadeia.
  • Para v(x)=x^{3}: a regra do poder diz \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Portanto v'(x)=3x^{2}.
  • Para w(x)=\operatorname{arctg} x: a derivada da função arco-tangente é w'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.Em palavras: \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctg} x = \dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do produto com os u',v',w' que achamos:
y' = u' v w + u v' w + u v w'.

Passo 5

Substituindo os valores encontrados:
y' = \bigl(3^{x}\ln 3\bigr)\,x^{3}\,\operatorname{arctg} x + 3^{x}\,\bigl(3x^{2}\bigr)\,\operatorname{arctg} x + 3^{x}\,x^{3}\,\frac{1}{1+x^{2}}.
Agora fazemos uma simplificação fatorando os fatores comuns 3^{x}x^{2} para deixar a expressão mais enxuta:
y' = 3^{x}x^{2}\left( (\ln 3)\,x\,\operatorname{arctg} x + 3\,\operatorname{arctg} x + \frac{x}{1+x^{2}}\right).
Se quiser agrupar ainda mais os termos com \operatorname{arctg} x, podemos escrever
y' = 3^{x}x^{2}\left( \operatorname{arctg} x\bigl((\ln 3)\,x + 3\bigr) + \frac{x}{1+x^{2}}\right).
Pronto — essa é a derivada organizada de forma útil para avaliação ou análise.

Resposta

y'=3^{x}x^{2}\left( \operatorname{arctg} x\bigl((\ln 3)\,x + 3\bigr) + \frac{x}{1+x^{2}}\right)

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