Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{5}+x\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função
y=\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{5}+x\right).
Informações relevantes dadas:
\text{a função }y\text{ é }y=(\cos u)^2\text{ com }u=\frac{\pi}{5}+x.çãé
A pergunta é: calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos simplificar a visão introduzindo variáveis auxiliares para aplicar a regra da cadeia com calma. Defina
u=\frac{\pi}{5}+x,
v=\cos(u),
y=v^{2}.
A ideia é calcular \dfrac{dy}{dx} multiplicando derivadas parciais em cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora lembro da regra da cadeia (explicando devagar): se uma variável depende de outra que depende de x, então a derivada final é o produto das derivadas intermediárias. Formalmente, se y=f(v) e v=g(u) e u=h(x), então
\frac{dy}{dx}=f'(v)\cdot g'(u)\cdot h'(x),
onde cada apóstrofo indica a derivada da respectiva função em relação à sua variável. Aqui nós temos f(v)=v^2, g(u)=\cos u e h(x)=\frac{\pi}{5}+x.

Passo 4

Calcule cada derivada simples separadamente, com explicação:
  • Derivada de f(v)=v^{2} em relação a v:
\frac{df}{dv}=2v.
Isso vem da regra do poder: a derivada de v^{n} é n v^{n-1}.
  • Derivada de g(u)=\cos u em relação a u:
\frac{dg}{du}=-\sin u.
Porque a derivada da função cosseno é menos seno.
  • Derivada de h(x)=\frac{\pi}{5}+x em relação a x:
\frac{dh}{dx}=1.
Porque \frac{\pi}{5} é constante e a derivada de x é 1.

Passo 5

Agora multiplica as três derivadas conforme a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=(2v)\cdot(-\sin u)\cdot 1.
Substituindo v=\cos u temos
\frac{dy}{dx}=2\cos u\cdot(-\sin u) = -2\cos u\sin u.
E voltando a u=\dfrac{\pi}{5}+x,
\frac{dy}{dx}=-2\cos\!\left(\frac{\pi}{5}+x\right)\sin\!\left(\frac{\pi}{5}+x\right).

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão usando a identidade de ângulo duplo:
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Daí 2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta), logo
-2\cos\theta\sin\theta=-\sin(2\theta).
Aplicando com \theta=\dfrac{\pi}{5}+x obtemos a forma mais compacta
\frac{dy}{dx}=-\sin\!\Big(2\Big(\frac{\pi}{5}+x\Big)\Big) = -\sin\!\left(2x+\frac{2\pi}{5}\right).

Resposta

-\sin\!\Big(2\Big(\frac{\pi}{5}+x\Big)\Big)

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