Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Vamos simplificar a visão introduzindo variáveis auxiliares para aplicar a regra da cadeia com calma. Defina
A ideia é calcular
multiplicando derivadas parciais em cadeia:
Passo 3
Agora lembro da regra da cadeia (explicando devagar): se uma variável depende de outra que depende de
, então a derivada final é o produto das derivadas intermediárias. Formalmente, se
e
e
, então
onde cada apóstrofo indica a derivada da respectiva função em relação à sua variável. Aqui nós temos
,
e
.
Passo 4
Calcule cada derivada simples separadamente, com explicação:
- Derivada de
em relação a :
Isso vem da regra do poder: a derivada de
é
.
- Derivada de
em relação a :
Porque a derivada da função cosseno é menos seno.
- Derivada de
em relação a :
Porque
é constante e a derivada de
é
.
Passo 5
Agora multiplica as três derivadas conforme a regra da cadeia:
Substituindo
temos
E voltando a
,
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade de ângulo duplo:
Daí
, logo
Aplicando com
obtemos a forma mais compacta