Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a expressão da derivada de
em relação a
. Ou seja, precisamos calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar duas regras de diferenciação que vamos usar (cada fórmula vem com explicação simples):
Aqui
é uma função qualquer de
. A ideia: derivamos o exponencial mantendo
e multiplicamos pela derivada interna
. Exemplo rápido: se
então
.
Passo 3
Agora a primeira parcela
. Identificamos
. Calculamos a derivada de
:
Aplicando a regra da cadeia:
Expliquei cada passo: identifiquei a função interna
, calculei sua derivada
e multipliquei por
.
Passo 4
Agora a segunda parcela
. Aqui usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas:
Aplicando a regra do produto:
Podemos também fatorar
se quisermos:
.
Passo 5
A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Somando as parcelas obtidas nos passos anteriores:
Agrupando termos semelhantes (fatorando
na segunda parcela) obtemos a forma simplificada