Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=e^{\cos x}+x e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = e^{\cos x} + x e^{x}
e pede a expressão da derivada de y em relação a x. Ou seja, precisamos calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras de diferenciação que vamos usar (cada fórmula vem com explicação simples):
\text{(Regra da cadeia)}\quad \frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big) = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é uma função qualquer de x. A ideia: derivamos o exponencial mantendo e^{u(x)} e multiplicamos pela derivada interna u'(x). Exemplo rápido: se u(x)=2x então \frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot 2.

Passo 3

Agora a primeira parcela \,e^{\cos x}\,. Identificamos u(x)=\cos x. Calculamos a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(e^{\cos x}\big)=e^{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\sin x\,e^{\cos x}.
Expliquei cada passo: identifiquei a função interna \cos x, calculei sua derivada -\sin x e multipliquei por e^{\cos x}.

Passo 4

Agora a segunda parcela \,x e^{x}\,. Aqui usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
\text{(Regra do produto)}\quad \frac{d}{dx}\big(p(x)q(x)\big)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Identificamos p(x)=x e q(x)=e^{x}. Calculamos as derivadas:
p'(x)=1,\qquad q'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x e^{x}\big)=1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = e^{x} + x e^{x}.
Podemos também fatorar e^{x} se quisermos: e^{x}(1+x).

Passo 5

A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Somando as parcelas obtidas nos passos anteriores:
\frac{dy}{dx} = -\sin x\,e^{\cos x} + \big(e^{x} + x e^{x}\big).
Agrupando termos semelhantes (fatorando e^{x} na segunda parcela) obtemos a forma simplificada
\frac{dy}{dx} = -\sin x\,e^{\cos x} + (1+x)e^{x}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\sin x\,e^{\cos x} + (1+x)e^{x}

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