Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\operatorname{sen}^{5} x+\cos \left(x^{5}\right)+\operatorname{tg} 5

Passo 1

O enunciado pede: determinar a expressão da derivada da função
y=\operatorname{sen}^{5} x+\cos \left(x^{5}\right)+\operatorname{tg} 5.
Informações relevantes dadas:
\operatorname{sen}^{5} x significa (\sin x)^5.
\cos\left(x^{5}\right) é a função cosseno aplicada à função x\mapsto x^5.
\operatorname{tg} 5 é a tangente do número 5 (constante, não depende de x).
A tarefa é calcular y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Lembrete útil (regra que vamos usar): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
y=u(x)+v(x)+w(x),
então
y'=u'(x)+v'(x)+w'(x).
Vamos aplicar isso termo a termo às três parcelas de y.

Passo 3

Derivada do primeiro termo (\sin x)^5.
Aqui usamos a regra da cadeia para potências compostas: se temos (u(x))^n com n constante, então
\frac{d}{dx}\big((u(x))^n\big)=n\,(u(x))^{\,n-1}\cdot u'(x).
No nosso caso u(x)=\sin x e n=5. Além disso, a derivada de \sin x é \cos x:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao primeiro termo obtemos:
\frac{d}{dx}\big((\sin x)^5\big)=5(\sin x)^{4}\cdot\frac{d}{dx}(\sin x)=5(\sin x)^{4}\cos x.
(Escrevendo de forma compacta: 5\sin^{4}x\cos x.)

Passo 5

Derivada do segundo termo \cos\big(x^{5}\big).
Também é um caso de composição: aqui f(u)=\cos u e u(x)=x^{5}.
Regra da cadeia geral (repetindo):
\frac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\cdot u'(x).
Sabemos que f'(u)=-\sin u e u'(x)=\frac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}.

Passo 6

Aplicando ao segundo termo:
\frac{d}{dx}\cos\big(x^{5}\big) = -\sin\big(x^{5}\big)\cdot 5x^{4} = -5x^{4}\sin\big(x^{5}\big).

Passo 7

Derivada do terceiro termo \operatorname{tg} 5.
Aqui a observação crucial: \operatorname{tg} 5 é um número fixo (constante), porque 5 é um número sem x. A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} 5\big)=0.

Passo 8

Somando as derivadas de cada termo, pela linha do Passo 2, temos a derivada total:
y' = 5(\sin x)^{4}\cos x - 5x^{4}\sin\big(x^{5}\big) + 0.
Podemos escrever de forma limpa como abaixo.

Resposta

y'=5\sin^{4}x\cos x-5x^{4}\sin\big(x^{5}\big)

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