Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expressão da derivada da função
Informações relevantes dadas:
significa
.
é a função cosseno aplicada à função
.
é a tangente do número
(constante, não depende de
).
A tarefa é calcular , a derivada de
em relação a
.
A tarefa é calcular
Passo 2
Lembrete útil (regra que vamos usar): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Vamos aplicar isso termo a termo às três parcelas de
.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Aqui usamos a regra da cadeia para potências compostas: se temos com
constante, então
Aqui usamos a regra da cadeia para potências compostas: se temos
No nosso caso
e
. Além disso, a derivada de
é
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao primeiro termo obtemos:
(Escrevendo de forma compacta:
.)
Passo 5
Derivada do segundo termo
.
Também é um caso de composição: aqui e
.
Regra da cadeia geral (repetindo):
Também é um caso de composição: aqui
Regra da cadeia geral (repetindo):
Sabemos que
e
.
Passo 6
Aplicando ao segundo termo:
Passo 7
Derivada do terceiro termo
.
Aqui a observação crucial: é um número fixo (constante), porque
é um número sem
. A derivada de uma constante é zero:
Aqui a observação crucial:
Passo 8
Somando as derivadas de cada termo, pela linha do Passo 2, temos a derivada total:
Podemos escrever de forma limpa como abaixo.