Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=x \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{5}+3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y = x \cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right).
Informações dadas: a função é o produto entre a função x e a função \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right). Não há outros dados a considerar.

Passo 2

Vamos recordar as regras que vamos usar (vou explicar cada coisa como se estivéssemos juntos na prova, devagarinho):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x.
  • Derivada da função seno composta (regra da cadeia): se w(x)=\sin\big(p(x)\big), então
w'(x)=\cos\big(p(x)\big)\cdot p'(x).
Explicando: primeiro derivamos a função externa \sin (que vira \cos) mantendo a expressão interna, e depois multiplicamos pela derivada da expressão interna p'(x).
  • Derivada de funções simples: a derivada de x é 1. A derivada de uma constante (como \frac{\pi}{5}) é 0. A derivada de uma função linear ax+b é a.
Tudo isso é suficiente aqui.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=x e v(x)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right).
Derivada de u:
u'(x)=1.
Agora calculamos v'(x) usando a regra da cadeia. Seja p(x)=\frac{\pi}{5}+3x. Então v(x)=\operatorname{sen}\big(p(x)\big).
Derivada de p:
p'(x)=\left(\frac{\pi}{5}\right)'+(3x)'=0+3=3,
porque \frac{\pi}{5} é constante e sua derivada é 0, e a derivada de 3x é 3.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=\cos\big(p(x)\big)\cdot p'(x)=\cos\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)\cdot 3.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores que achamos:
y' = 1\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right) + x\cdot\big(3\cos\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)\big).
Simplificando a escrita:
y' = \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right) + 3x\cos\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right).

Resposta

y'=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)+3x\cos\!\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)

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