Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
.
Informações dadas: a função é o produto entre a função e a função
. Não há outros dados a considerar.
Informações dadas: a função é o produto entre a função
Passo 2
Vamos recordar as regras que vamos usar (vou explicar cada coisa como se estivéssemos juntos na prova, devagarinho):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
.
- Derivada da função seno composta (regra da cadeia): se
, então
Explicando: primeiro derivamos a função externa
(que vira
) mantendo a expressão interna, e depois multiplicamos pela derivada da expressão interna
.
- Derivada de funções simples: a derivada de
é . A derivada de uma constante (como ) é . A derivada de uma função linear é .
Tudo isso é suficiente aqui.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
e
.
Derivada de
:
Agora calculamos
usando a regra da cadeia. Seja
. Então
.
Derivada de
:
porque
é constante e sua derivada é
, e a derivada de
é
.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores que achamos:
Simplificando a escrita: